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考研論壇

標題: 考研數學講座（7）導數定義是重點 [打印本頁]
作者: 戰地黃花    時間: 2010-2-19 09:05
標題: 考研數學講座（7）導數定義是重點
選定一個中心點 x0 ，從坐標的角度講，可以看成是把原點平移；從物理角度說，是給定一個初始點；從觀察角度議，是選好一個邊際點。  微量分析考慮的問題是：  在 x0 點鄰近，如果自變量 x 有一個增量 Δx    ，       則
    函數相應該有增量 Δy = f（x0+Δx）－ f（x0），我們如何表述，研究及估計這個 Δy  呢？
       最自然的第一考慮是“變化率”。中國人把除法稱為“歸一法”。無論 Δx 的絕對值是多少， Δy／Δx 總表示，“當自變量變化一個單位時，函數值平均變化多少?！?br />            定義   令 Δx 趨于零，如果增量商 Δy／Δx 的極限存在，就稱函數在點 x0 可導。稱極限值為函數在點x0 的導數。記為        Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）=  f ′(x0)  
           或     Δx → 0 ， lim (（f（x0+Δx）－ f（x0））／(x－ x0）)  =  f ′(x0)
           或      x →x0 ，   lim (（f（x）－ f（x0））／(x－ x0）) = f ′(x0)
          理解1    你首先要熟悉“增量”這個詞。它代表著一個新的思維方式。    增量 Δy  研究好了，    在 x0 鄰近  ，              f（x）= f（x0）+ Δy  ，函數就有了一個新的表述方式。
      回頭用“增量”語言說連續，則“函數在點x0 連續” 等價于 “Δx 趨于0 時，相應的函數增量 Δy 一定趨于0”
       理解2  要是以產量為自變量 x，生產成本為函數 y ，則 Δy／Δx 表示，在已經生產 x0 件產品的狀態下，再生產一件產品的平均成本。導數則是點 x0 處的“邊際成本”。
     （畫外音：“生產”過程中諸元素的磨合，自然會導致成本變化。）
       如果用百分比來描述增量，則（Δy/y）／（Δx/x）表示，在 x0 狀態下，自變量變化一個百分點，函數值平均變化多少個百分點。如果 Δx 趨于零時極限存在，稱其（絕對值）為 y 對 x 的彈性。
       理解3    如果函數 f 在區間的每一點處可導，就稱 f 在此區間上可導。這時，區間上的點與導數值的對應關系構成一個新的函數。稱為 f 的導函數。簡稱導數。函數概念由此得到深化。
       用定義算得各個基本初等函數的導數，稱為“求導公式”。添上“和，差，積，商求導法則”與“復合函數求導法則”，我們就可以計算初等函數的導數。
       例24    設函數  f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）∕（1 + x 的2 n次方 ）), 討論函數 f(x) 的間斷點，其結論為
      （A）不存在間斷點      （B）存在間斷點x = 1         （C）存在間斷點x = 0           （C）存在間斷點x = －1
           分析 這是用極限定義的函數，必須先求出 f(x) 的解析表達式，再討論其連續性。
       任意給定一點 x ，(視為不變。)此時，把分母中的“x的2n次方”項看成是“（x平方）的n次方 ”，這是自變量為 n 的指數函數。令 n→∞ 求極限計算相應的函數值。
       鑒于指數函數分為兩大類，要討論把 x 給定在不同區間所可能的影響。（潛臺詞：函數概念深化，就在這變與不變。哲學啊?。┧愕?br />          －1＜x＜1  時 ，f(x) = 1 + x  ； f(1)=1  ； f(－1) = 0
而        x＜－1  或 x＞1 時，恒有 f(x) = 0  ，觀察得 x →1 時，lim f(x) = 2 ；應選（B）。

      理解4    運用定理（2），“極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。”則
                   “函數在點x0可導” 等價于“左，右導數存在且相等”。
           討論分段函數在定義分界點x0處的可導性，先看準，寫下中心點函數值  f（x0），然后分別在 x0 兩側算左導數，右導數。
      例25       （1）h 趨于 0+ 時， lim( f(h)－f(0）)/h 存在 不等價于函數在 0 點可導，因為它只是右導數。
      （2）h 趨于 0 時，  lim (f(2h)－f（h））/h 存在 不等價于函數在 0 點可導，因為分子中的函數増量不是相對于中心點函數值的増量。
       請對比:  如果 f（x）函數在 0 點可導，則 h→0 時，
           lim (f(2h)－f（h））/ h = lim (f(2h)－f(0）+ f(0）－f（h））/ h
                                                       = 2lim (f(2h)－f(0）) / 2h － lim (f（h）－f(0))/ h
                                                       = 2 f ′(0) － f ′(0) =  f ′(0)
         （畫外音：我把上述恒等變形技術稱為“添零項獲得增量”?？荚囍行恼J為你一定會這個小技術。
      （2）中的不等價，要點在于，即便（2）中的極限存在，f（x）在 0 點也可能不可導。你可以作上述恒等變形，但是，你無法排除“不存在－不存在 = 存在” ）
      例26    若函數 f（x）滿足條件 f（1+x）= a f（x），且 f ′(0) = b，數 a≠0，b≠0 則
     （A）  f（x）在x = 1不可導。   （B）f ′(1) = a           （C）f ′(1) = b                  （D）f ′(1) =a b
          分析  將 f ′(0) = b 還原為定義  lim (f(0+h)－f（0））/ h = b   ,
          要算 f ′(1) ，考查  lim (f(1+h)－f（1））/ h      ；   如何向 f ′(0) 的定義式轉化 ？！ 只能在已知恒等式上下功夫。
       顯然   f(1+h)= a f（h）；而    f（1）= f（1+0）= a f（0）
              lim (f(1+h)－f（1））/ h  =  lim a (f(h)－f（0））/ h = ab         應選（D）。
      *理解5      兩個無窮小的商求極限，就可以看成是兩個無窮小的比較。于是 ，
      連續函數  f（x）在點 x0 可導的充分必要條件是，  x →x0  時，函數增量 Δy 是與 Δx 同階，或較 Δx 高階的無窮小。
          考研的小題目中，經常在原點討論可導性，且往往設函數在原點的值為零。我稱這為“雙特殊情形”。這時，要討論的增量商簡化為 f（x）/x ，聯想一下高低階無窮小知識，可以說，“雙特殊情形”下函數在原點可導，等價于 x 趨于 0 時，函數是與自變量 x 同階或比 x 高階的無窮小。如果函數結構簡單，你一眼就能得出結論。

      例27   設函數 f（x）在點 x = 0 的某鄰域內有定義，且恒滿足 ∣f (x)∣≤ x 平方，則點 x = 0 必是 f (x) 的
      （A）間斷點。  （B）連續而不可導點。  （C）可導點，且 f ′(0) = 0         （D）可導點，且  f ′(0) ≠ 0   
         分析  本題中實際上有夾逼關系   0 ≤∣f (x)∣≤ x 平方 ，在 x = 0 的某鄰域內成立。這就表明 f（0）= 0 ，且
               ∣f (x) / x∣≤∣ x∣，由夾逼定理得，f ′(0) = 0，應選（C）。

     例28     設有分段函數 f (x)：   x ＞ 0 時，f (x) = (1－cosx)∕√x   ； x ≤ 0 時，f (x) = x 平方g(x)
其中，g(x) 為有界函數。則 f (x) 在點 x = 0
                    （A）不存在極限。 （B）存在極限，但不連續。  （C）連續但不可導。    （D）可導。
     分析  由定義得中心點函數值 f（0）= 0 ；本題在“雙特殊情形”下討論。
       x ＞0  時，顯然 f (x) 是比 x 高階的無窮小。右導數為 0            （潛臺詞：1－cosx 是平方級無窮小。）
            x ≤ 0  時，f (x) / x = xg(x) ，用夾逼法可判定左導數為0 ；     應選（D）。

     *理解6 運用定理（3），若 f（x）函數在點 x0 可導，即有已知極限  Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）= f ′(x0)  
于是        Δy／Δx =  f ′(x0) + α(x)（無窮?。?； 即   Δy = f ′(x0) Δx + α(x)Δx
          由此即可證明，函數在點x0可導，則一定在x0連續。
         “如果分母是無窮小，商的極限存在，則分子也必定是無窮小?！?/strong>
       經濟類的考生可以這樣來體驗“可導一定連續”?？紨祵W一，二的同學則應將此結論作為一個練習題。
       把導數定義中的極限算式記得用得滾瓜爛熟，你就既不會感到它抽象，也不會感到有多難?？佳械念}目設計都很有水平，如果側重考概念，題目中的函數結構通常都比較簡單。
       不要怕定義。就當是游戲吧。要玩好游戲，你總得先把游戲規則熟記于心。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-2-20 07:34 編輯 ]
作者: 戰地黃花    時間: 2010-2-23 07:23
標題: 首先武裝自己
陽春三月風光好，抓好基礎正當時。
作者: 戰地黃花    時間: 2010-3-2 07:34
標題: (7)與(8)是一套
(7)與(8)是一套，正反兩面理解深。
作者: 戰地黃花    時間: 2010-3-12 08:05
標題: 導數定義
導數定義,出現概率為1
作者: foryouj    時間: 2010-3-13 11:08
標記下
作者: wubingwinner    時間: 2010-6-1 08:04
大師級人物 謝謝為我們指導講解收益非淺
作者: zjy2011    時間: 2010-6-11 14:23
xiexie^^^^
作者: fishli007    時間: 2010-6-12 14:55
謝謝
作者: zhupengyu3638    時間: 2010-6-12 17:09
很受用 感謝LZ了  不過前幾個在哪？
作者: 鑫知識2011    時間: 2010-7-26 11:44
標題: 請教
請教：設函數  f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）∕（1 + x的2 n次方 ）), 討論函數 f(x) 的間斷點。
為什么把轉化為f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）的（1-2n）此方求解結果不一樣，謝謝老師！
作者: 戰地黃花    時間: 2010-7-29 23:06
標題: 回復 10樓 鑫知識2011 的帖子
討論“用極限定義的函數”的性質，第一步要求出函數的解析表達式。
你要注意，“1 + x 的2 n次方”不是“（1 + x）的2 n次方”
作者: swjtuliwei    時間: 2010-8-22 16:00
受益匪淺！
作者: xincai1988    時間: 2010-9-19 10:36
挺有用的。。。
作者: 小蝸牛zfj    時間: 2010-9-21 08:36
牛人！謝謝前輩的指導！
作者: 加油Jiao    時間: 2010-9-30 10:51
牛！
作者: 202020    時間: 2010-9-30 11:45
xiexie le
作者: benyz    時間: 2010-10-15 14:18
受用。謝謝

  不要怕定義。就當是游戲吧。要玩好游戲，你總得先把游戲規則熟記于心。

[ 本帖最后由 benyz 于 2010-10-15 14:27 編輯 ]
作者: npqgyd    時間: 2010-12-10 22:03
老師，向你敬個禮~~
作者: 風舞二戒    時間: 2010-12-15 07:37
很精彩，謝謝老師！有一個問題， lim (f(2h)－f（h））/ h通過變化= f ′(0)，那到底函數在 0 點可導還是不可導？我還是搞不清楚
作者: sunchuang    時間: 2011-1-9 02:16
這是不是哪位大師的論文啊？你抄來的不？？？
作者: slyvia妍    時間: 2011-3-25 16:08
謝謝老師的講解！學習了！
作者: 考驗加油。    時間: 2011-6-12 15:37
老師 這可以打印嗎。。。。我想打印下來
作者: lingecool8    時間: 2011-8-1 17:49
老師 我感覺高數很簡單 但是對線代沒信心啊.....
作者: 燈下的一泓    時間: 2011-10-13 12:06
  -1<x<1  時 ，f(x) = 1 + x  ； f(1)=1  ； f(-1) = 0
而        x<-1  或 x>1 時，恒有 f(x) = 0  ，觀察得 x →1 時，lim f(x) = 2 ；應選（B）。

請教老師： 此處x →1 - 時 極限是2  可是  x →1 + 時極限是0吧
作者: hechyang    時間: 2012-6-24 10:43
厲害啊，您的講座分析很深入，讓人的理解能更加透徹....謝謝你啊....



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