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考研論壇

標題: 有意思（4）右導數與導函數的右極限 [打印本頁]

作者: 戰地黃花 時間: 2010-5-3 20:17
標題: 有意思（4）右導數與導函數的右極限
（每段是初等函數的）分段函數求導，分界點處用定義計算，各段用法則與公式。老老實實地記與做，既簡明又少犯錯誤。
   當然，你可以懂得更細一點。
   可導一定連續。不連續必然不可導。連續是討論可導性的前提。    函數在點 a 可導的充分必要條件是左右導數存在且相等。
   在定義分界點 a 的一側，比如右則。可以用定義求得右導數。同時，在右側這一段內，你用法則與公式求出了導函數。自然就會產生一個想法，能否以此求極限得到點 a 的導數。這是錘煉知識及思維細密性的好時機。

   1 如果求極限，是求導函數在點a的右極限。這個右極限存在嗎？

   2 按照定義求右導數。“右導數”與“導函數在點 a 的右極限”是兩回事。

   3 如果這個右極限存在，它和“右導數”相等嗎？

   用拉格郎日公式可以證明，“如果導函數在點 a 的右極限存在，則函數在點 a 的右導數一定存在，且兩者相等。”（一個好練習題！）
   左側可以類似討論。
   結論：驗證了分段函數在分界點 a 連續后，在兩邊區間內各自求導。令 x 趨于 a  ，分別求導函數的極限。若兩者相等，它就是函數在點 a 的導數。若兩者不等，函數在點a不可導。
   前題很清晰，這樣處理也可以。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-5-6 21:11 編輯 ]

作者: chonini 時間: 2010-5-3 20:37
單側極限存在，單側導數一定存在；極限不存在，導數可能存在。。。
戰地老師，我有個問題，是不是說如果導函數趨于點a的雙側極限存在且相等，則函數在點a一定可導！而且導函數在此點a一定連續？？
老師能不能講得再仔細點，還有，怎么判斷導函數的連續呢？？[em:18]

作者: 戰地黃花 時間: 2010-5-4 07:51
標題: 回復沙發 chonini 的帖子
(1)記住前提:先驗證了函數在分界點處連續!!!!!!!!!!!
(潛臺詞:有時候,這個工作量也不小.)
(2)在此前提下,你的理解正確.即
"如果導函數趨于點a的雙側極限存在且相等，則函數在點a一定可導.而且導函數在點a一定連續."
      最好是完整地說:
      "如果分段函數在分界點處連續,且兩側的導函數極限存在且相等，則函數在分界點可導.導數就是極限值.這時,導函數在分界點連續."
      (3)"導函數在點a一定連續."是此時的客觀存在事實.
      (4).要把問題徹底弄懂,必須自己練習一遍.我把過程提示如下:
         驗證了函數在分界點處連續后,寫出右導數定義式
   對右導數定義式中的增量商運用拉格朗日公式
      求極限思考結果

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-5-4 08:00 編輯 ]

作者: chonini 時間: 2010-5-4 09:48
http://www.0313v.com/viewthread ... ;page=1#pid30897194
這個也挺有意思，能幫看看嘛？

作者: 戰地黃花 時間: 2010-5-6 21:10
標題: 與有意思(5)配合
與有意思(5)配合看

作者: sdc2010 時間: 2010-10-6 16:00
老師，所有分段函數的在間斷點的導數都可以用兩種方法了對吧？大不了就是不存在

作者: 戰地黃花 時間: 2010-10-7 08:20
標題: 回復 6樓 sdc2010 的帖子
對，要么直接用定義考查，要么先考查連續性，……。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-10-7 09:09 編輯 ]

作者: maoda_1986 時間: 2010-10-7 09:44
老師威武~

作者: snapeliu0718 時間: 2012-2-1 00:31
啊哈我是來扒舊帖學習的 {:soso_e128:} 受教了

作者: snapeliu0718 時間: 2012-2-1 00:47
“如果導函數在點 a 的右極限存在，則函數在點 a 的右導數一定存在，且兩者相等。”
這句話，我想到用極限定義和導數定義不用拉格朗日也可以證明
其中，證明過程中重要條件就是此分段函數在分界點a處連續
所以，“”先驗證了函數在分界點處連續!!!”很重要啊，是前提條件

作者: 記的飯 時間: 2012-6-18 20:06
{:soso_e113:}

作者: kcufgl 時間: 2012-6-25 05:45
提示: 作者被禁止或刪除內容自動屏蔽

作者: 戰地黃花 時間: 2012-6-25 10:24
本帖最后由戰地黃花于 2012-6-25 10:25 編輯

kcufgl 發表于 2012-6-25 05:45
萬一分段點兩邊是抽象函數(前面括號里的條件：每段是初等函數是必不可少的吧？為什么加括號啊，加括號意思 ...

   為什么要加括號？這是因為大學數學學習范圍內，《高等數學》的內容就約定這樣。
   實際上，還是“各段用公式，分界點用定義算”最好。簡明易掌握。
   還可能有這樣的情況——
   導函數在定義區間內不會有第一類間斷，但可能有第二類間斷。這就是說，你辛辛苦苦求導函數的左，右極限，最終判定不存在，你卻不能由此斷言函數在中心點不可導。還得回頭用定義算。這就虧大了。{:soso_e109:}{:soso_e112:}

作者: Scorpioの棄 時間: 2012-7-21 21:32
老師我問下 x在（x1，x2）區間內，當x1→x2時，x=？？？

作者: Scorpioの棄 時間: 2012-7-21 22:11

a7878370 發表于 2012-7-21 21:49
要求的前提是在x0連續所以是閉區間可以用拉格朗日至于第二個問題用極限唯一性理解 ...

第二個問題x是多少啊，我感覺用極限唯一性說明不了什么，它的區間最后趨近與一個點

作者: 戰地黃花 時間: 2012-7-22 21:45

kcufgl 發表于 2012-6-25 15:49
老師，學生愚鈍，請老師解釋一下：
1，為什么’’導函數在定義區間內不會有第一類間斷，但可能有第二類間 ...

(1)記住前提:函數在點a的某去心鄰域內可導，（相應有導函數。）如何討論它在點a的可導性。這與函數抽象不抽象沒關系。（2）用定義討論最好。
（3）可以考慮，先驗證了函數在分界點處連續!!!后
(潛臺詞:有時候,這個工作量也不小.)
      "如果（分段）函數在（分界）點a處連續,且兩側的導函數極限存在且相等，則函數在（分界）點a可導.導數就是極限值.這時,導函數在（分界）點連續."
      (4)"導函數在點a一定連續."是此時的客觀存在事實.
      (5).要把問題徹底弄懂,必須自己練習一遍.我把過程提示如下:
         驗證了函數在分界點處連續后,寫出右導數定義式
   對右導數定義式中的增量商運用拉格朗日公式
      求極限思考結果

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