標題: 考研數學講座（77）數字特征知根底 [打印本頁] 作者: 戰地黃花 時間: 2010-5-22 07:40 標題: 考研數學講座（77）數字特征知根底 為了量化研究，人們在樣本空間上建立基本點與數之間的一一對應關系，記為X或Y，…… ，稱為隨機變量。
研究隨機變量，一個重要的著眼點是，隨機變量取值的分布狀況。
測量某個客觀存在的數據，測量結果必定有誤差。測量結果是隨機變量。通常我們會多測幾次，以幾次數據的平均值為測量值。這個極其普通的作法，卻恰好滿足一個優化條件。
《高等數學》知識告訴我們，優化問題：
“已知數a的n個近似值，x1，x2，……，x n，求x0，使其與這n個值的平方平均誤差最小。”即
Min{（x-x1）2+（x-x2）2 + --- +（x-x n）2}
的答案就是這n個數的平均值。
之所以給偏差以平方，是要避免正負相消而失真 。
（畫外音：請聯想隨機變量的均值，請比較這個優化條件與隨機變量方差的定義。）
在有n個指標集的評價問題中，給每個單項指標打一個分數，x1，x2，---，x n ；如果要進一步考慮各個指標的重要性，就不會簡單地給一個平均分，而是先給各個指標賦“權”。即給出總和為1的n個正小數，p1，p 2，---，p n，其大小分別表示相應那個指標的重要性。再取其“加權平均值”。即 x0 = p1 x1 + p 2 x 2 + --- + p n x n
前述“取平均值”，可以視為各次測量結果權重相等。都為1/n
1.離散型隨機變量的數學期望（均值）
設X是離散型的隨機變量，它有n個可能的取值。每一個取值表示一個可能出現的試驗結果。這個取值的概率，一定意義上顯示了“它出現的權利大小”。 概率又正好有非負性且總和為1的特點，因而可以視為“權重”。
定義離散型隨機變量的數學期望 E(X) = p1 x1 + p 2 x 2+ ……+ p n x n
這就好比是取X的加權平均值。
在X有可列無窮多個取值的情形，如果相應的級數收斂，則E(X)也存在。
離散型隨機變量函數的數學期望 ——
如果 g(t )是個連續函數，X是隨機變量，那g (X)當然也是隨機變量。特別的，若X是離散型隨機變量，那g (X)當然也是離散型隨機變量。 X → g (X) ，相當于一次數據轉換。最重要的是，立即對如影隨行的概率作相應的轉換。
（1）如果 X →g (X) 是一一對應關系，則
X的分布列 x i → p（x i）直接就是 g (X) 的分布列 g (x i) → p（x i）
（2）如果 X →g (X) 不是一一對應關系，比如有幾個X值都產生相同的函數值g (x1)，則要把這幾個點的概率加起來，作為g (x1)的概率。整理完以后再寫出分布列。
比如 若隨機變量X的分布列為 -1 0 1
0.1 0.4 0.5
則隨機變量 X 2 的分布列為 0 1
0.4 0.6
有趣的是，計算E(g (X))，可以不去管函數關系是否一一對應。只需直接把所有的積項g (xi) p（x i）加到一起。 實際上，如果 g (x1) = g (x2) ，則 g (x1) p（x1）+ g (x 2) p（x 2）= g (x1)（p（x1）+ p（x 2））
計算過程中自然地進行了整理。 2 連續型隨機變量的數學期望
連續型隨機變量的定義很有特色。與《線性代數》中特征值與特征向量的定義一樣，一個定義界定了兩個概念。定義中還蘊含有概率的算法。 定義 —— 如果存在非負可積函數 f (x) ，使得隨機變量X在任一區間（a，b）內取值的概率恰為 f (x) 在此區間上的積分。且f (x) 在實軸上的積分為1，則稱隨機變量X為連續型隨機變量；稱 f (x) 為X的分布密度。 分布密度就是連續型隨機變量X的數學模型。
這里有一個隱情。在樣本空間中，事件與集合相對應。概率的基礎是集合。所需要的積分是建立在集合基礎上的“勒貝格積分”。由于大學數學只教了建立在“區間”基礎上的“黎曼積分”，因而在這里就只能打模糊說話。把積分看成黎曼積分來算。
在“黎曼積分”范疇內沒有“函數可積的充分必要條件”； “勒貝格積分”則回答了這一問題。由此可以看到，在集合基礎上討論問題，更深入，也更一般化。 連續型隨機變量X的數學期望 —— 對于連續型隨機變量X，如果它的密度f (x) 在實軸上絕對可積，則定義其數學期望為：
E(X) = x f (x)在實軸上的積分 （黎曼積分中稱為“廣義積分”。）
（畫外音：不必細究“可積”性，只需知道，連續型隨機變量X可能不存在數學期望。） 連續型隨機變量函數的數學期望 ——若X是連續型隨機變量，其分布密度為f (x)，g(t )是個連續函數，在積分收斂時，定義 E(g(X )) = g(x) f (x)在實軸上的積分
特別地，如果 E（X）存在 ，則 E (a X + b) = a E(X) + b
3，隨機變量X的“方差”D (X)
要描述隨機變量X取值的分布態勢。X的第二個數字特征“方差”D (X) 應運而生。
方差D (X ) 以數學期望E(X)為參照物，描述隨機變量X的整體分布狀態。即隨機變量X的取值對于其數學期望的平均偏離。
(在“存在”的前提下——)
離散型隨機變量X的方差 —— D (X ) = E ( (X-E(X)) 2 )
連續型隨機變量X的方差 —— 若X有密度函數f (x)，則
D (X ) = E ( (X-E(X)) 2 ) = (x-E(x)) 2 f (x) 在實軸上的積分
方差定義式可以繼續運算： D (X ) = E ( (X-E(X)) 2 ) = E（X 2－2X E(X) + E(X) 2）
因為數學期望的運算是線性的，且常量E(X)的期望就是自己。故
D (X ) =上式 = E（X 2）－ E(X) 2 即 D (X ) + E(X) 2 = E（X 2）
通常記 σ2 = D (X ) ； μ= E(X) 則 σ2+μ2= E（X 2）
一定要熟練運用這個平方關系 。
（畫外音：為了加深印象，不妨說這是“概率勾股定理”。）
對于任意實數a與b，若隨機變量X的方差存在，則 D (a X + b) = a 2D(X) ， 顯然 D（b）= 0
(畫外音：不要忘了，隨機變量可能不存在均值或方差。)