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考研論壇

標(biāo)題: 考研數(shù)學(xué)講座（47）特征理論起點(diǎn)高 [打印本頁]

作者: 戰(zhàn)地黃花 時(shí)間: 2010-5-28 11:34
標(biāo)題: 考研數(shù)學(xué)講座（47）特征理論起點(diǎn)高
《線性代數(shù)》的第二板塊是“方陣譜理論基礎(chǔ)知識(shí)”。中心問題是“方陣A與對(duì)角陣相似的充分必要條件。
      人們用“光譜分析”方法來識(shí)別材料。我們把“特征理論”又稱為“譜理論”。是感到矩陣的特征值是其深層次的標(biāo)志。在各類應(yīng)用中，如“層次分析法”（AHP）等，矩陣特征值都起著關(guān)鍵作用。
   （畫外音：知道“光譜”嗎？燈謎“光譜，（打一國(guó)名）。”謎底，以色列。不同的材料一定有不同的光譜。）

      1.方陣的特征值與特征向量
            定義 —— 設(shè)A是n階方陣，若有非零向量α數(shù)λ，滿足Aα=λα，則稱λ是A的特征值，α是A的屬于特征值λ的特征向量。
      由于 Aα=λα  即（A-λE）α= 0 ，齊次線性方程組（A-λE）x = 0 有非零解α，（其系數(shù)矩陣的列向量組線行相關(guān)。）其系數(shù)行列式必為0
            |A-λE | = 0是關(guān)于未知量（A的特征值）λ的一元n次方程。
      代數(shù)基本定理：一元n次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有n個(gè)根。其中k重根算k個(gè)根。
   （畫外音：哇噻。真牛啊！一個(gè)定義給出兩個(gè)概念，定義中還隱含著算法。）

      多項(xiàng)式 f（λ）=|A-λE | 稱為方陣A的特征多項(xiàng)式。在復(fù)數(shù)域內(nèi)有
      f（λ）=|A-λE |=（-1）n次方（λ－λ1）（λ－λ2）……（λ－λn）
      由方程|A-λE | = 0解出A的n個(gè)特征值；對(duì)每個(gè)特征值λ分別解（A-λE）x = 0，全體非零解組成A的屬于λ的特征向量集合。
      *數(shù)學(xué)一的考生要知道高級(jí)語言，“A的屬于λ的特征向量 + 0向量”稱為A的屬于λ的特征向量子空間。
   （潛臺(tái)詞：煩啊！要解一個(gè)一元n次方程，還要解n個(gè)齊次線性方程組。）
      從向量的角度看待定義式  Aα=λα，即向量 Aα∥λα，兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)的分量成比例，比值就是λ
            特征值與特征向量定義的幾何意義，一度成為研考的考點(diǎn)。其基本邏輯為
      Aα=λα  ——→ Aα∥α  ——→ 兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例 —→
                     ——→ n個(gè)分量得到n-1個(gè)方程 ——→最多可以確定A或α中的n-1個(gè)參數(shù)。
   （畫外音：你有這樣的觀念了嗎？一眼看去，Aα就是個(gè)向量。）

      例62  方陣A可逆，且A的每行元素和都等于α，證明逆陣 Aˉ1 的每行元素和都等于1/α
            分析  題面有點(diǎn)嚇人，實(shí)際上只是個(gè)游戲。
      如何能得到“每行元素和”？玩熟內(nèi)積的人會(huì)想到列向量 β=（1，1，---，1）ˊ，讓它與矩陣的行向量與作內(nèi)積，就相當(dāng)于把行向量的各分量相加。即作矩陣乘法得
         Aβ=（α，α，---，α）ˊ=α（1，1，---，1）ˊ
         （潛臺(tái)詞：（n×n）×（n×1）=（n×1））
      這表明α是A的特征值，β是A的屬于特征值α的特征向量。
      等式兩端同時(shí)左乘以矩陣與數(shù)1/α，得
         Aˉ1β=(1/α)β=（1/α， ---，1/α）ˊ，即 Aˉ1 的每行和都等于1/α

           特征值的“傳遞”算法 ——
         由特征值和特征向量的定義可以推證得
      （1）如果方陣A滿秩且λ是A的一個(gè)特征值，則
                     1/λ是矩陣（A逆）的一個(gè)特征值；|A|/λ是其伴隨矩陣A*的一個(gè)特征值。
      實(shí)際上，若A可逆，且A有特征值λ，則有數(shù)λ及非零列向量α成立關(guān)系式
         Aα=λα —→ α=λAˉ1α —→Aˉ1α = α/λ—→|A| Aˉ1α = |A|α/λ —→  A*α =（|A|/λ）α
               還有進(jìn)一步的定義游戲。
         (2) 若 Aα=λα，則  A2α= A Aα= Aλα= λAα=λ2α
                                                               (A2+ 2E)α=(λ2+2)α             ……
      一般地說，設(shè)φ(t)是個(gè)多項(xiàng)式，把 t 換為方陣A，常數(shù)項(xiàng)添加單位矩陣E，就得到多項(xiàng)式矩陣 φ(A)；
      若Aα=λα，則φ(A)α=φ(λ)α，即    若A有特征值λ，則多項(xiàng)式矩陣 φ(A)有特征值φ(λ)。
      (1)與(2)是再好不過的定義游戲.我把它們稱之為“特征值的“傳遞”算法”。
         最最重要的是，在以上多種傳遞方式中，相應(yīng)的特征值有相同的特征向量。
      （畫外音：在傳遞過程中，特征向量就象是“陪嫁物”一樣被傳送了。）

         例63  已知四階方陣A 滿足 |√2E + A|=0，且 AAˊ = 2E，|A|<0，則 A的伴隨矩陣 A*  有一個(gè)特征值為（？）
      分析  |√2E + A|= 0 即  | A-(-√2)E |= 0 , A有特征值 λ= -√2
                              由 AAˊ = 2E 兩端取行列式，得 |A|2 = 16  ，|A|=-4 ，答案 |A|/λ = 2√2

               2.特征值與特征向量的性質(zhì)
      （1）屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。
      （2）|A|= A的n個(gè)特征值的連乘積。
      （3）可逆陣的特征值都不為0
            教材上都不證明（1）。對(duì)于數(shù)學(xué)一的考生來說，特殊情形“若n階方陣A有n個(gè)單特征值，試證明屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。”是一個(gè)不錯(cuò)的練習(xí)題。
      由于f（λ）=|A-λE |=（-1）n次方（λ－λ1）（λ－λ2）……（λ－λn）
令    λ= 0，就有  |A|=λ1λ2……λn  ，這就說明了（2）和（3）

      眾所周知，|A+B|難解。有了A的n個(gè)特征值，我們可以計(jì)算 |多項(xiàng)式矩陣 φ(A)|
            例64    已知三階方陣A 的特征值為 1，2，3 ；求 |2A2－A|，|A-5E|
            分析  A有特征值1，2，3；則2A2－A 有特征值 1，6，15，|2A2－A|= 90
                        A有特征值1，2，3；則A-5E有特征值 -4，-3，-2，|A-5E|=-24
            例65 A的屬于不同特征值的特征向量，其線性組合一定不是特征向量。
      分析  不仿把問題簡(jiǎn)化。設(shè)λ1，λ2是A的特征值兩個(gè)不同的特征值。ξ1與ξ2分別是其特征向量。
   （反證法）若 αξ1+βξ2 是A 的特征向量，則它要屬于某個(gè)特征值λ，且由定義有
         A（αξ1+βξ2）=λ(αξ1+βξ2)，    去括號(hào)得          αλ1ξ1+βλ2ξ2  =αλξ1+βλξ2
即          α（λ1－λ）ξ1 + β（λ2－λ）ξ2 = 0
            屬于不同特征值的特征向量ξ1與ξ2 線性無關(guān)，只有 λ1=λ=λ2    矛盾。
      (畫外音：也可以先說，“若 αξ1+βξ2是A的特征向量，則ξ1，ξ2，αξ1+βξ2線性相關(guān)，從而αξ1+βξ2只能屬于特征值λ1或λ2，……)

            3.屬于重特征值的特征向量集的秩
      屬于重特征值的特征向量集的秩，這是本部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)。
      （1）每個(gè)單特征值都有屬于自己的特征向量集。且相應(yīng)的特征向量集的秩 = 1
            （潛臺(tái)詞：（A-λE）x = 0解集秩 = n- r(A-λE) = 1）
         這樣一來，如果λ是n階方陣A的單特征值，則有“反控制”： r(A-λE)= n-1)
               （2）對(duì)于A的重特征值，只有結(jié)論：
                   “k重特征值相應(yīng)的特征向量集的秩 ≤ 特征值的重?cái)?shù)”
            （潛臺(tái)詞：先要搞清楚重特征值的特征向量集的秩，才有“反控制”計(jì)算r(A-λE)。）
      在微分方程理論中，我們把“k重特征值相應(yīng)的特征向量集的秩 < 特征值重?cái)?shù)”的情形。稱為“重特征值有虧損”。
         “重特征值有虧損”的后果會(huì)自然體現(xiàn)在中心定理內(nèi)。即A不能與對(duì)角陣相似。
         一個(gè)推理游戲 ——
                  設(shè)三階方陣A有3重特征值λ，且λ不虧損。—→  屬于λ的特征向量集的秩 = 3
                                                                        —→（A-λE）x = 0解集秩為3
                                                         —→ 因?yàn)椋ǎˋ-λE）x = 0解集秩）= 3-r (A-λE)，故只有r (A-λE) = 0
                                                —→ 只能A =λE
                  逆向思維：太特殊了！不這樣就必然要虧損。  “重特征值有虧損”，應(yīng)該是常有的事。

      例56 已知非零的n維列向量α與β正交。作方陣A = αβˊ，求A2及A的特征值與特征向量。
      分析  求A2是個(gè)提示。  A2 = αβˊαβˊ=α（βˊα）βˊ= 0（矩陣）
      （畫外音：左行右列作內(nèi)積，左列由行得矩陣。（n×1）（1×n）= n×n ）
         零矩陣只能有n重0特征。進(jìn)而A也只能有n重0特征。
         此時(shí)，解齊次線性方程組（A-λE）x = 0  即解    A x = 0
               以下是解齊次線性方程組的標(biāo)準(zhǔn)程序：（畫外音：記熟了，就有上“高速路”的感覺。）
         由矩陣乘積秩定理，顯然有r (A)=1，故，解集秩 = n-1，且只有一個(gè)方程是獨(dú)立的。
         又不仿設(shè) α1β1≠0 ；選第一個(gè)方程  α1β1 x1+ …… +α1βn x n = 0  來計(jì)算。
         將自由未知量組（x 2，------， x n ）ˊ 取為n-1 維向量的標(biāo)準(zhǔn)正交組，逐一代回這個(gè)方程，解出x1，再回頭將x1添入到標(biāo)準(zhǔn)正交組各向量作第一分量，就得到基礎(chǔ)解系。
               ξ1 =（β2/β1，1，0，……，0）ˊ，ξ2 =（β3/β1，0，1，……，0）ˊ，
                                    ……，    ξ（n-1） =（βn/β1，0，0，------，1）ˊ
         特征向量  ξ = C1ξ1 + C2ξ2 +------，+ C（n-1）ξ（n-1）  ；系數(shù)不同時(shí)為0
            （潛臺(tái)詞：n重0特征的特征向量集的秩為n-1，有虧損！）

又是定義游戲；又要知道點(diǎn)一元n次方程基礎(chǔ)知識(shí)。又要熟練地運(yùn)用齊次線性方程組解集構(gòu)造理論，快速地求出基礎(chǔ)解系；還需要理解重特征值可能的“虧損”。特征理論的起點(diǎn)高啊。

作者: 老牛一頭 時(shí)間: 2010-5-28 15:55
戰(zhàn)地黃花，昨年我就在關(guān)注你了，你到底是誰？？？？？

作者: wubingwinner 時(shí)間: 2010-6-2 21:57
標(biāo)題: 回復(fù) 沙發(fā) 老牛一頭的帖子
一位很好的教師謝謝他啦我尊敬的戰(zhàn)地老師

作者: zwqer123 時(shí)間: 2011-7-29 17:37
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作者: fll514 時(shí)間: 2012-10-6 15:11
好貼，M

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