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考研論壇
標題:
考研數學講座（18）泰勒公式級數連
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作者:
戰地黃花
時間:
2010-6-9 08:20
標題:
考研數學講座（18）泰勒公式級數連
中值定理是應用函數的導數研究函數變化特點的橋梁。
中值定理運用函數在選定的中心點x0的函數值、導數值以及可能的高階導數值，把函數表示為一個多項式加尾項的形式。再利用已知導函數的性質來處理尾項，對函數做進一步討論。
中值定理的公式（可微分條件，有限增量公式，泰勒公式,…… ）都是描述型的數學公式。
描述型的數學公式并不難學。什么條件下可以用什么樣的公式描述，你記住公式，完整地寫出來不就行了。
公式中的“點 ξ ” 理解為客觀存在的點。
在選定的中心點x0，函數的已知信息越豐富，相應的泰勒多項式與函數越貼近。
1.“ 微分是個新起點”
—— 若函數 f（x）在點x0可微，
Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ；其中，ο(Δx)表示“比 Δx 高階的無窮小。”
則函數實際上就有了一個新的（微局部的）表達式：
f（x）= f (x0) + f ′ (x0)(x-x0) + ο(Δx) （ ο(Δx) 尾項，比Δx高階的無窮小）
（潛臺詞：只有|Δx |充分小，“高階無窮小”余項才有意義。）
歷史上，這個表達式稱為，“
帶皮阿諾余項的一階泰勒公式
”。
2.
拉格郎日公式
—— 若 函數f (x)在閉區間 [a，b] 上連續，在（a，b）內可導，則（a，b）內至少有一點 ξ ，使得 f (b)-f (a) = f ′(ξ)（b-a）
定理說的是區間，應用時不能太死板。在滿足條件的區間內取任意兩點，實際上也組成一個（子）區間。
比如，在區間內任意選定一點x0，對于區間內任意一點x，（任給一點，相對不變。）也可以有
f (x) - f (x0) = f ′(ξ)（x-x0），ξ 在 x 與 x0 之間，
（潛臺詞：任意一點 x ，對應著一個客觀存在的“ 點 ξ ” ， ξ = ξ（x） ）
即 f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x--x0） ，ξ 在 x 與x0 之間，
3. 泰勒公式 ——
如果函數
在點x0鄰近
有二階導數
f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x - x0）+ （f ″(ξ) /2）（x - x0) 2 ，ξ 在 x 與x0之間
式中的尾項叫
拉格郎日尾項
。有時也把 ξ 表示為 x0 + θ(x - x0) ，0<θ＜1
一般情況下，我們無法知道 ξ = ξ（x）的結構、連續性等，只能依靠已知導函數的性質來限定尾項，實現應用目的。
如果函數
在點x0
二階可導，我們可以用高階無窮小尾項（皮阿諾余項）
f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x - x0）+ （f ″(x0) /2）（x - x0）2 + ο（|Δx| 2）
泰勒系數 ——
如果在點x0鄰近 f（x）n+1 階可導，則有泰勒系數
f（x0） ，f ′(x0) ， f ″(x0) / 2！ ，f ′ ″(x0) / 3！ ，……
可以寫出， f（x）= n次泰勒多項式 + 拉格朗日尾項
4. 泰勒級數 ——
如果在點x0鄰近 f（x）無窮階可導，不妨就取 x0 = 0 ，則利用泰勒系數可以寫出一個冪級數
f（x）= f（0）+ f ′(0) x +（f ″(0) /2）x 2 +（f ′″(0 ) / 3！）x 3 + ……
這個冪級數的和函數是否就是 f（x）呢？不一定！
（畫外音：太詭異了，f（x）產生了泰勒系數列，由此泰勒系數列生成一個冪級數，它的和函數卻不一定是 f（x）。就象雞下的蛋，蛋孵出的卻不一定是雞。）
關鍵在余項。當且僅當 n → ∞時，泰勒公式尾項的極限為 0 ，f（x）一定是它的泰勒系數列生成的冪級數的和函數。稱為 f（x）的泰勒展開式。
驗證這個條件是否成立，往往十分困難。故通常
利用五個常用函數的泰勒展開式，依靠唯一性定理，用間接法求某些別的函數的泰勒展開式。
美國的學生特別輕松，他們的大學數學教材很有創意，早在極限部分就要他們當成定義記住指數函數與正弦函數的泰勒展開式。
exp（x）= 1 + x + x 2 /2！+ x 3 / 3！+ …… -∞<x<∞
sin x = x - x 3 / 3！ + …… -∞<x<∞
（逐項求導， cos x = 1 - x 2 / 2！+ …… -∞<x<∞）
此外還有 ln（1+x）= x - x 2 /2 + x 3 /3 + …… -1<x< 1
（1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ (μ－1) / 2！）x 2 +（μ(μ－1)(μ－2) / 3！）x 3 + ……
1/ (1-x) = 1 + x2 + x3 + …… -1<x< 1，上同
泰勒公式基本應用（1）—— 等價無窮小相減產生高階無窮小。
關鍵在于低階項相互抵消。應用泰勒公式直接有 ，x→ 0 時，
exp（x）- 1 ~ x ， exp(x)-1-x ~ x2 / 2
sin x ~ x ， sin x - x ~ - x 3 / 3！ ， cos x -1 ~ - x 2 / 2
ln（1+x）~ x ， ln (1+x) - x ~ - x 2 /2
（1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x
例87
已知x→ 1時，lim(√(x3+3) - A - B(x -1) - (x -1) 2 ) / (x -1) 2 = 0 ，試確定常數，A，B，C
分析 已知表明 x→ 1時，分子是較分母高階的無窮小。
題面已暗示，應將函數 y =√(x3+3) 在點 x = 1 表示為帶皮阿諾余項的泰勒公式，且必有
常數項 = A 一次項系數 = B 二次項系數 = C
低階項相互抵消，分子為高于二次方級的無窮小。
于是 A = y(1) = 2 ，B = y ′(1) = 3/4 ，C = y″(1) / 2 = 39/64
（畫外音：有的人一遇上這類題就想用洛必達法則，
這在邏輯上是錯的
。不懂得無窮小的變化機理。
如果只有兩個參數，可看講座（9）。）
泰勒公式基本應用（2）——帶皮阿諾余項的泰勒公式用于求極限
例88
若 x→ 0 時 ，極限 lim ( sin6 x+ f（x）) / x 3 = 0 ，則
x→ 0 時，極限 lim ( 6 + f（x）) / x 2 = ?
分析 分子有兩項。決不能把 sin6 x 換為 6x ，
（潛臺詞：sin6 x 不是分子的因式 ，是分子的一項。）
這時正好用“帶皮阿諾余項的一階泰勒公式”， sin 6x = 6 x - （ 6x) 3 / 3！+ ο（|Δx| 3）
代入已知極限，移項得 lim ( 6 + f（x）) / x 2 = 36
例89
設函數 f (x) 在 x = 0 的某鄰域內有連續的二階導數，且 f (0)≠0，f ′(0)≠0，記
F(h) = λ
1
f (h) + λ
2
f (2h) + λ
3
f (3h) 一 f (0)，
試證，存在唯一的實數組λ1，λ2，λ3，使 h → 0 時，F(h) 是比 h 2 高階的無窮小。
分析 討論極限問題，有高階導數信息，先寫帶皮亞諾余項的泰勒公式
f（x）= f（0）+ f ′(0) x + （f ″(0) /2）x 2 + ο（|x| 2）
這是函數 f（x）的一個新的（微局部的）表達式，當然可以表示 f (h) ， f (2h)， f (3h)
f (h) = f（0）+ f ′(0) h + （f ″(0) /2）h 2 + ο（| h | 2）
f (2h) = f（0）+ f ′(0) 2 h + （f ″(0) /2）（2h）2 + ο（| h | 2）
f (3h) = f（0）+ f ′(0)3 h + （f ″(0) /2）（3h）2+ ο（| h | 2）
（潛臺詞：常數因子不影響尾項。）
將各式代入F(h),整理得
F(h) = ( λ1+λ2+λ3一1) f（0）+ ( λ1+2λ2+3λ
3
) f ′(0) h + ( λ1+4λ2+9λ3) f ″(0) h 2/2 + ο（| h | 2）
要讓 h → 0 時，F(h) 是比 h 2 高階的無窮小。，只需令上式中的常數項及 h 和 h 2 項的系數全為0 ，這就得到未知量 λ1，λ2，λ3 的一個齊次線性方程組，它的系數行列式是三階的范德蒙行列式，其值不為0，故可以相應算得唯一的一組λ1，λ2，和λ3
泰勒公式基本應用（3）——帶拉格郎日尾項的泰勒公式用于一般討論
例90
—— 凸函數不等式
如果函數f (x) 二階可導且二階導數定號，（稱為凸函數），則應用泰勒公式可以得到不等式
f (x)≥（或≤）f（x0）+ f ′(x0)(x-x0)
實際上 f（x）= f（x0）+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(ξ) /2 ) (x-x0) 2 ，ξ 在x與x0之間
設 f ″(x)> 0 ，自然有 (f ″(ξ) /2 ) (x-x0) 2 > 0 ，舍掉此項就得到不等式。
*例91
函數 f (x) 在 [-1，1] 上有連續的三階導數，且 f (-1) = 0 ，f (1)=1，f ′(0) = 0，試證明在區間 內至少有一點 ξ ，使得 f ″′(ξ) = 3
分析
選中心點 x0 = 0
，在區間內討論，寫出帶拉格郎日尾項的泰勒公式
f（x）= f（0）+（f ″(0) /2）x 2 +（f ′ ″(η ) / 3！）x3 , η 在 0 與 x 之間
既然這是 f (x) 的又一個表達式，當然可以代入x = -1 , 1 ，它們分別相應有ξ 1，ξ 2
0 = f（-1）= f（0）+（f ″(0) /2）(-1)2 +（f ′″(ξ 1 ) / 3！）(-1) 3 , -1<ξ
1
<0
1 = f（1）= f（0）+（f ″(0) /2）12 +（f ′″(ξ 2) / 3！）1 3 , 0 <ξ
2
< 1
到了這一步，仔細觀察發現，兩式相減，能得到只剩下有關三階導數值的表達式。
f ′″(ξ
2
) + f ′″(ξ
1
) = 6
或著兩個三階導數值都等于3 ，本題得證。
或者它們一大于3 ，一小于3 ，而函數 f ″′(x)
連續
，可以應用介值定理完成本題證明。
[
本帖最后由 戰地黃花 于 2010-6-9 20:33 編輯
]
作者:
wubingwinner
時間:
2010-6-9 13:12
老師謝謝啦！ 剛剛拜讀完了！收獲不少噢 期待您的下次更新
作者:
hogwash
時間:
2010-6-9 20:25
板凳？[em:42]
作者:
吾aiYY
時間:
2010-10-27 09:19
呵呵，之前不懂那些等價無窮小怎么來的，看了終于明白了~~~
作者:
koggg
時間:
2010-12-6 15:50
例88好像有問題
作者:
戰地黃花
時間:
2010-12-6 20:32
標題:
f（x）應為 x f（x）
例88題面的 f（x）項，應為 x f（x），少寫了個x
謝謝。
作者:
fadinglover
時間:
2011-3-11 22:11
這個應該還是看書好吧
作者:
alexchao
時間:
2011-3-13 08:13
吾aiYY 發表于 2010-10-27 09:19
呵呵，之前不懂那些等價無窮小怎么來的，看了終于明白了~~~
不知道你說這句話什么意思，好像等價無窮小，不需要泰勒就可以推導出來吧。lim（sin X）/x=1（x-->0）就是其等價無窮小的依據，而此處用的是夾逼準則
作者:
aideluz
時間:
2012-7-15 11:44
頂起
作者:
lshf92
時間:
2014-7-1 10:58
好
作者:
lshf92
時間:
2014-7-1 10:58
好
作者:
希冀雪飄
時間:
2015-4-16 12:31
謝謝老師，收獲頗多
作者:
迫之一
時間:
2015-4-16 16:37
謝謝分享
作者:
ni34216910
時間:
2015-4-17 03:56
謝謝
作者:
KF132
時間:
2015-4-18 10:06
贊！
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