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考研論壇

標題: 有意思（15）三階方陣特征向量的幾何分析 [打印本頁]

作者: 戰(zhàn)地黃花 時間: 2010-11-2 08:06
標題: 有意思（15）三階方陣特征向量的幾何分析
特征理論基礎知識部分，“重特征值特征向量問題”是難點，是重點，也是關鍵。
      赫爾德曼當年榮獲“菲爾茨獎”（數(shù)學大獎，只獎給40歲以下的年輕人。）起步工作就是“拓撲向量空間中的重特征理論”。我啃了一兩年，就只懂了一點點。
      二,三維空間中的向量問題,可以聯(lián)系平面及真實空間思考,從幾何角度幫助自己理解向量及特征向量的問題。考研數(shù)學年年在《線性代數(shù)》第二板塊出大題，基本上都是討論三階方陣。因而更應該借助真實空間背景，把這個特殊情形想深想透。
      矩陣A的單特征值擁有的特征向量集的秩 = 1，
   （潛臺詞：（A-λE）x = 0解集秩為1）
      這樣一來，如果λ是n階方陣A的單特征值，則有“反控制”： r(A-λE)= n-1
            在重特征情形，只能有，
         “A 的k重特征值擁有的特征向量集的秩 ≤ 特征值的重數(shù)k”
      （畫外音：在微分方程理論中，把“k重特征值的特征向量集的秩 < 特征值重數(shù)k”的情形。稱為A的“k重特征值有虧損”。其直接后果就是A不能與對角陣相似。)
      對于三階方陣而言
      （1）若三階方陣A有3個單特征，則A有三個線性無關的特征向量組成三維向量空間的最大無關組。每一個三維向量可以由它們唯一地線性表示。所以稱它們是空間的一組（斜）“坐標基”。
      空間中只有三個特征方向。平行于其中一個方向的向量，才是A的特征向量。
      若三階方陣A是對稱陣，則三個特征方向兩兩正交。
      （2）若三階方陣A有一個單特征，一個二重特征。且二重特征值擁有的特征向量集的秩就為2 ，這時，單特征對應有一個特征方向。屬于二重特征的特征向量則都平行于同一平面。平行于特征方向或平行于這張平面的的向量，才是A的特征向量。
      (畫外音：英文文獻上說，這個二維空間（“平面”）是由最大無關組的兩個向量，（按平行四邊形法則）象蜘蛛織網(wǎng)那樣“spun”成的。):
      若三階方陣A是對稱陣，則特征方向就是那張平面的法方向。
      垂直于平面法方向的向量一定與平面平行。因而在此情形，與單特征方向正交的向量，一定是A的屬于二重特征值的特征向量。
      要注意的是，若一個向量只與A的屬于二重特征值的特征向量正交，那它既不一定與“那張平面”正交，也不一定屬于該平面，也就不一定是A的特征向量。
      （3）若三階方陣A有三重特征值λ，且λ不虧損。則有推理：
      —→  A的屬于λ的特征向量集的秩 = 3
               —→（A-λE）x = 0解集秩為3
               —→  因為（（A-λE）x = 0解集秩）= 3-r (A-λE)，只有r (A-λE) = 0
               —→  只能A =λE
            逆向思維：太特殊了！“重特征值有虧損”，應該是常有的事。
      三重特征值λ擁有的特征向量集的秩可能為1 ，這時，用四川話說就是，“λ虧慘了。”

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-11-2 10:24 編輯 ]

作者: wjzxwj 時間: 2010-11-2 08:29
老師的sofa

作者: scl1989 時間: 2010-11-2 08:42
板凳……

作者: LmYjQ 時間: 2011-10-6 14:47
很有啟發(fā) 跟書本上的很不一樣謝謝老師

作者: milnor 時間: 2012-12-2 20:45
您好！在下斗膽概括下您的觀點，線性變換的特征值的幾何重數(shù)不超過其代數(shù)重數(shù)，當其方陣可對角化時等號成立。鄙人不才，疏漏之處，還望閣下批評指出。

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