考研論壇
標題: 有意思（25）混合型背景下的 Z = f (X，Y) 的分布函數 [打印本頁]
作者: 戰地黃花 時間: 2012-4-18 08:21
標題: 有意思（25）混合型背景下的 Z = f (X，Y) 的分布函數
本帖最后由 戰地黃花 于 2012-4-18 08:27 編輯
定義是最基本的游戲規，是邏輯推理的出發點。是應對問題的法寶。
對于二維隨機向量（X，Y），大學數學教材給出分布函數的定義后，再給出二維離散型隨機變量與二維連續型隨機變量的分布函數具體算法。這就相當于給出了計算分布函數的范例。
分布函數定義的要點是兩條。
（1）定義顯示了二維隨機向量（X，Y）的“虛擬性”，及“隨機向量意在交”。
（2）P（X≤x ，Y≤y）表示分布在左下四分之一平面上的全部概率質量。
對二維隨機變量背景下的一維隨機變量 Z = f (X，Y) ，大學數學教材上也有計算分布函數及概率密度的問題。
對于二維離散型隨機向量（X，Y），列出聯合分布表后，用“窮盡法”計算。 對于二維離散型隨機向量（X，Y）， 則是標則準的“分布函數法”。
要注意的是，大學數學教材上，只是對二維離散型隨機變量及二維連續型隨機變量分別定義了條件分布。
處理“邊沿分布”，及一維隨機變量 Z = f (X，Y)的計算問題 ，前提都是，“站在二維隨機變量（X，Y）的背景下”。
“站在二維隨機變量（X，Y）背景下”，其要點是先“配對（x ，y）”再考慮相應計算問題。
考研數學題常常會有一些“擦邊球”。 在混合型二維隨機變量（X，Y）的背景下計算或討論一維隨機變量 Z = f (X，Y)的問題，就是偏離教材及考試大綱很遠的“擦邊球”。
無論是什么樣的“擦邊球”，基本思路應該是按分布函數的定義，“隨機向量意在交”，進行相關計算。
例1。設隨機變量X，Y相互獨立，其中X的分布列為P（X = 1）= 0.3，P（X = 2）= 0.7 ，而Y的概率密度為f（y），求隨機變量U = X + Y的概率密度g (u)
分析“站在二維隨機變量（X，Y）背景下”看，（X，Y）的有效配對是
（1，y），（2，y） ，– ∞ < y < + ∞ ，即兩條豎直線。
記 G（u）為隨機變量U = X + Y的分布函數 ，則任給一點u
G（u）= P（U≤u）= P（X + Y≤u）= P（X = 1，Y≤u–1）+ P（X = 2，Y≤u–2）
請住意，這里按照分布函數的定義，P（U≤u）是分布左下半平面x + y ≤u的全部“配對（x ，y）”相應的概率。
“隨機向量意在交”，已知隨機變量X，Y相互獨立，故
G（u）= P（X + Y≤u）= P（X = 1，Y≤u–1）+ P（X = 2，Y≤u–2）
= P（X = 1）P(Y≤u–1) + P(X = 2) P(Y≤u–2）
= 0.3 FY(u–1）+ 0.7 FY (u–2）
求導得 g (u) = 0.3 f (u–1）+ 0.7 f (u–2）
例2 設隨機變量X，Y相互獨立，且X服從標準正態分布N（0，1），Y的概率分布為P（Y = 0）= P（Y = 1）= 1/2 ，記 G（z）為隨機變量Z = XY的分布函數，則G（z）的間斷點個數為 ？
分析 由離散型隨機隨機變量X的圖形特征可以想到 ，如果混合型隨機變量X的數學模型中含有“概率質點x0” ，即P (X = x0) = p > 0，則x0必定是其分布函數的跳躍間斷點。
“站在二維隨機變量（X，Y）背景下”看，（X，Y）的有效配對是
（x，0），（x，1） ，– ∞ < y < + ∞ ，即兩條水平線
顯然，對于所有（x，0），– ∞ < y < + ∞ ，及（0，1）都有Z = XY= 0 ，故
P（Z = XY= 0）= P（0，– ∞ < y < + ∞）+ P（X= 0，Y=1）
其中，應該說 P（0 ，– ∞ < y < + ∞） 來自于“定積分微元分析法”與無窮積分收斂的定義。
“隨機向量意在交”，已知隨機變量X，Y相互獨立，故P（Z = 0）= 1/2
在其它點（x，1）處，Z = XY= x ，再沒有別的“概率質點”。
隨機變量Z = XY的分布函數 G（z）只有一個跳躍間斷點z 0 = 0
例3 設隨機變量X，Y相互獨立，X ~ B（1，1/2），Y ~ [0，，記Z = X + Y，試求Z的分布函數及概率密度。
分析 “站在二維隨機變量（X，Y）背景下”看，（X，Y）的有效配對是
（0，y），（1，y） ，0 ≤ y ≤1 ， 即兩條豎直線段。
記 G（z）為隨機變量Z = X + Y的分布函數 ，則任給一點z
簡單作圖即可看出，z < 0時 ，G（z）= 0 ， 而 z ≥ 2時 ，G（z）= 1
0≤ z < 1時 ，G（z）= P（X + Y≤z）= P（X = 0，0≤Y≤z）
“隨機向量意在交”，已知隨機變量X，Y相互獨立，故
G（z）= P（X = 0，0≤Y≤z）= z / 2
1≤ z < 2時 ，左下半平面 x + y ≤z含（0，y），0 ≤ y ≤1 ，及另一線段部分
G（z）= P（X + Y≤z）= P（X = 0，0≤Y≤1）+ P（X = 1，0≤Y≤ z–1）
=1 / 2 +（ z–1）/ 2 = z / 2
求導得密度函數g（z）
z < 0 或 z > 2時 ，g（z）= 0 ， 1≤ z ≤ 2時 ，g（z）= 1/ 2
即 Z = X + Y 服從 [0，2] 上的均勻分布。
按照教材現有定義與規范算法計算，這應該是打“擦邊球”的本意。
作者: 不懂自然數 時間: 2012-4-18 14:34
支持老師！
作者: 死神ing 時間: 2012-4-18 14:53
技術貼要頂
作者: wallace1987 時間: 2012-7-23 13:08
老師辛苦了！{:soso_e163:}
作者: fll514 時間: 2012-10-6 15:10
好貼，M
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