線性代數知識點框架（續）

雷西兒

時隔一年，總算把特征值特征向量以及二次型部分給大家補上了：）還是那句話，個人水平有限，加上不同人的不同的思維習慣，所以只能說我把自己的思路提供出來給大家作為參考，希望能起到點提綱挈領的作用吧。

說實話，寫最后這部分時，還是感覺到有些壓力，最主要怕寫出來不如前四章那樣讓大家滿意，呵呵，不過無論如何，我已經盡力了，線代的知識框架總結也算是形成了一個完整的篇章，至少有始有終吧。最近一段時間課題任務比較重，可能要過個把月才有空把高數部分重新修訂了。

最后一個小說明，因為這個系列文章的重點是挖掘、梳理各知識點之間的相互聯系和脈絡，所以內容上并沒有全盤覆蓋課本，而是有所側重，打個比方，相當于是勾勒出的一個線性代數的基本框架，那么建議大家在此基礎上多開闊思路，通過發散思維把框架之外的剩余部分囊括到自己的腦海中來：）


線性代數知識點框架（五）

由矩陣乘法的特點可知，計算一個矩陣A的n次方，相對于數乘運算來說要繁瑣得多。我們注意到，如果存在可逆矩陣P和對角矩陣∧，使得A=P*∧*P逆，那么有：
A^n=（P*∧*P逆）^n=（P*∧*P逆）（P*∧*P逆）…（P*∧*P逆）=P*∧^n*P逆
由于對角矩陣的乘方容易計算，從而問題得到大幅簡化。

對矩陣A、B來說，如果存在著可逆矩陣P，使得A=P *B*P逆，我們稱A與B是相似的。特別地，如果A與對角矩陣∧相似，則稱A可對角化。由此可見，如果矩陣A可對角化，那么A^n的計算將變得簡單許多。故可把相似的說法理解為一個在尋找矩陣乘方簡便運算的過程中提出來的概念。

相似的矩陣有許多共同的性質，如有相同的秩和相同的行列式值，相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆，等等。

設矩陣A相似于對角矩陣∧，那么：
A=P*∧*P逆
＜＝＞ AP=P∧，其中P為可逆矩陣
＜＝＞ A*（a1, a2, …, an）=（a1, a2, …, an）*∧，其中a1, a2, …, an分別為可逆矩陣P的列向量，λ1, λ2, …, λn分別為對角矩陣∧的主對角線上元素
＜＝＞ A*a1=λ1*a1，A*a2=λ2*a2，…，A*an=λn*an
也就是說，矩陣A能對角化的關鍵，在于找到n個常數λ1, λ2, …, λn和n個線性無關的向量a1, a2, …, an（因為這些向量構成的矩陣可逆，這也決定了零向量不是特征向量），使得A*ai=λi*ai（i=1，2，3，…，n）。
我們把滿足條件A*ai=λi*ai的λi稱為矩陣A的特征值，ai稱為矩陣A對應特征值λi的特征向量。換句話說，一個矩陣能夠相似于對角矩陣的充分必要條件是：存在n個線性無關的特征向量。

接下來的問題是如何求矩陣的特征值和特征向量？一個方案是從定義A*ai=λi*ai出發，直接尋找滿足這樣要求的λi 和ai，但這一般是不容易做到的，故還有必要去建立一種更為普遍的方法。

設A*ai=λi*ai
＜＝＞（A-λi*E）*ai=0
＜＝＞ 對λi來說，ai是齊次線性方程組（A-λi*E）*X=0的一個非零解（因為ai構成的向量組線性無關）
＜＝＞ 方程組的系數行列式det（A-λi*E）=0
由此可見，每一個特征值λi都是多項式det（A-λ*E）在指定數域（一般是實數域）上的根，我們稱這個多項式為矩陣A的特征多項式，不難驗證，它是一個λ的n次多項式。依據特征方程det（A-λ*E）=0，即可求出矩陣A的全部特征值。

對矩陣A的每個特征值λi，求齊次線性方程組（A-λi*E）*X=0的解，得到的全部非零解（一般可用基礎解系表示）就是A的屬于特征值λi的全部特征向量。由此可得到兩點啟示：對同一個特征值來說，特征向量不唯一；對同一特征值來說，特征向量的線性組合仍為特征向量。

相似的矩陣有相同的特征多項式和特征值，但有相同特征多項式的兩個矩陣不一定相似。相似的矩陣有相同的秩，故一個可對角化矩陣的非零特征值的數目即為其秩。

在求出矩陣的全部特征值和全部特征向量以后，剩下的問題就是判斷這些所有的特征向量中有沒有n個是線性無關的？如果有，意味著矩陣可對角化，如果沒有，則矩陣不可對角化。

對一個矩陣A來說，考慮到其n個特征值可能相同也可能不同，故最一般的情況應該是把A的這n個特征值分為m組，分別為λ1, λ2, …, λm，每組的個數分別為j1，j2，…，jm（注意有j1+j2+…+jm=n），對每個λi（i=1，2，…，m），齊次線性方程組（A-λi*E）*X=0的基礎解系解向量的個數分別為r1，r2，…，rm，這些基礎解系各自當然都是A的線性無關的特征向量，自然會進一步聯想，把這m組共r1+r2+…+rm個向量合在一起情況如何，是否仍線性無關？

經過考察發現，矩陣A的屬于不同的特征值的特征向量一定線性無關。故上述r1+r2+…+rm個來自不同特征值的特征向量構成的向量組確實是線性無關的。于是不難有如下結論，若r1+r2+…+rm=n，則A有n個線性無關的特征向量，從而A可對角化，若r1+r2+…+rm<n，則A沒有n個線性無關的特征向量，從而A不可對角化。

若矩陣A具有n個不同的特征值，則A可對角化。

由此可見，要判斷一個矩陣是否可對角化，通常需要求出其全部特征值（相當于解代數方程的問題），再求出每個特征值所對應的特征向量（相當于解齊次線性方程組的問題）并考察其相互之間的線性無關性。亦即我們應當建立起這樣的認識：相似變換，尤其是相似對角變換，并不是對任何一個矩陣來說都可以進行的，這其中關鍵在于能否找到一個可逆矩陣P來為兩者提供聯系，換言之就是應當滿足某些對應的條件。當然，可以想象，也許對于具有某些特點的矩陣來說，它們本身就滿足這種既定條件，從而必可以對角化。

實對稱矩陣就是這樣一種特殊的矩陣，它一定存在著n個線性無關的特征向量，即一定可對角化。實對稱矩陣屬于不同特征值得特征向量是正交的，而之前已經提到過，對同一特征值來說，其特征向量的線性組合仍是其特征向量，故可利用施密特正交化方法（本質是線性組合）來構造出一組屬于同一特征值的正交特征向量，這些正交化單位化后的特征向量就決定了實對稱矩陣一定可以正交對角化。要注意到正交矩陣當然是可逆的，正交的向量組當然是線性無關的，這是實對稱矩陣對于一般矩陣來說在相似變換性質上更為優越的地方。

雷西兒

線性代數知識點框架（六）

在實際生活中，我們常常會遇到許多與n個變量x1，x2，…，xn構成的二次齊次多項式f（x1，x2，…，xn）相關的問題（如二次曲面問題、多元函數的極值問題等），我們將這種多項式稱為一個n元二次型。

可以看到，與線性方程組類似，對二次型的性質起決定作用的是自變量的系數及其相對位置，這提示我們可以把這些系數排成的一個n階矩陣A，用矩陣的工具來研究二次型，具體做法是：
令X=（x1，x2，…，xn）’，則二次型f（x1，x2，…，xn）可以寫成：
f（x1，x2，…，xn）=X’AX
其中A稱為二次型f（x1，x2，…，xn）的矩陣，它的特點是：主對角線上的元素是完全平方項的系數，（i，j）位置上的元素是交叉項系數的一半，這決定了二次型矩陣的對稱性和唯一性。

我們知道，矩陣的一個應用是線性變換，即關系式X=CY表示的是從變量x1，x2，…，xn到變量y1，y2，…，yn的一個線性變換，一般來說，我們還要求這種變換是可逆的（即C可逆）。從坐標變換的角度來看，向量R在X坐標系下的分量x1，x2，…，xn與Y坐標系下的分量y1，y2，…，yn通過轉換矩陣C相聯系，這表明：同一個向量實體在不同坐標系下可以有不同的表現形式，但本質上并無區別。

利用線性變換X=C*Y，變量X的一個二次型f（x1，x2，…，xn）=X’AX可以變成
（CY）’A（CY）=Y’C’ACY= Y’（C’AC）Y
設C’AC=B，則有 Y’BY= f（y1，y2，…，yn），這是變量Y的一個二次型，不難驗證，B正是二次型f（y1，y2，…，yn）的矩陣。
從坐標變換的角度來看，與向量類似，同一個二次型f在不同的坐標系下可以有不同的表現形式，兩者通過關系式C’AC=B相聯系，但本質上并無區別。

對矩陣A、B來說，如果存在著可逆矩陣C，使得C’AC=B，我們稱A與B是合同的，不難推斷，合同的矩陣有相同的秩，且對應著同一個二次型。特別地，如果矩陣A與對角矩陣∧合同，那這個對角矩陣∧對應的就是一個只含完全平方項的二次型，稱為標準型。將二次型化為標準型來進行研究，因為不含交叉項，問題變得簡單許多。

注意到二次型的矩陣總是對稱矩陣，故對于實數域上的二次型X’AX來說，其矩陣A必可正交對角化，故必定存在一個正交矩陣Q，使得Q逆*A*Q=∧，同時考慮到Q’=Q逆，因此Q’AQ=∧，即A合同于對角矩陣。也就是說，對實數域上的任意一個二次型，都能夠通過合適的坐標變換化為標準型。從坐標變換的角度來看，我們總可以找到一個合適的坐標系，在該坐標系中，二次型f以相對較為簡單的，僅含完全平方項的形式表現出來，而這些完全平方項的系數（也就是矩陣A的特征值），就決定了該二次型具有的全部性質。

同一個實二次型X’AX，其標準型不唯一，但標準型中完全平方項的個數r是唯一的，同時r也就是二次型矩陣A的秩。

這里應該著重體會的是，正是利用實對稱矩陣在相似變換上強有力的性質（必可正交對角化），我們才得以將二次型化標準型的問題轉化為矩陣求特征值特征向量的問題，而后者是之前就已經探討清楚了的。

在得到實二次型的標準型后，還可對標準型中所有平方項的系數進行歸一化，即得到規范型，一個二次型的規范性是唯一的。規范型只含平方項，且平方項的系數只有1，0，-1，實二次型的規范性由正慣性指數的個數p和負慣性指數的個數q決定，其中p+q=r為二次型矩陣的秩。規范型在形式上更為簡單，一般常通過研究二次型的規范型來對其作出一些定性的判斷。

正定二次型是無論自變量如何取值都能保證結果恒正的二次型，即對于任意非零的X，都有X’AX>0。判斷一個二次型的正定性，一種選擇是直接從定義出發，另一種方案可考慮利用規范型（因為無論正定負定都是一個定性而非定量的結論），而實際上正定二次型的許多性質也確實能通過其規范型相聯系，這是值得注意的。

[ 本帖最后由 雷西兒 于 2010-3-9 01:18 編輯 ]

藍珊瑚1987

第一時間來支持雷師兄的帖子！

我發現數學版真是人才濟濟，幫助大家解決了好多問題。感覺在這里比在教室里溫暖多了。

一定認真消化師兄的總結

[ 本帖最后由 藍珊瑚1987 于 2010-3-9 01:16 編輯 ]

liuyeziyuan141

呵呵 深夜潛水探出頭來~~見到了久仰的雷大俠 最近正在看這塊內容呢 如獲至寶啊。。感謝感謝~

sail2011

來頂雷大俠，辛苦了啊，呵呵…

e1evenonly

說實話   向量 每次見到就頭暈

philwuyao

感謝樓主的無私分享，真心說聲謝謝了

chenli117113

[BAD CONTENT]

fengshanyulin

謝謝學長的無私奉獻，感謝感謝！

huncky

謝謝樓主，呵呵……