考研數學講座（8）求導熟練過大關

戰地黃花

函數在一點x0可導，其導數值也就是函數圖形在點（x0，f（x0））處的切線斜率。從這個意義出發，我們有時把函數可導說成是“函數光滑”。
       1  典型的不可導
       可導一定連續。函數的間斷點自然是不可導點。這是平凡的。我們感興趣的是函數連續而不可導的點。
       最簡單也最實用的反例是絕對值函數 y =∣x∣。這是一個分段函數。還原成分段形式后，在點x = 0 兩側分別用定義計算，易算得右導數為 1 ，左導數是 －1
            進一步的反例是 y =∣sinx∣在點 x = 0 和 y =∣lnx∣在點 x = 1 連續而不可導。
       從圖形變化上去看一個連續函數取絕對值，那是件非常有趣的事情。
       連續函數在相鄰的兩個零點之間不變號。如果恒正，每一個正數的絕對值就是自已。在這兩個零點間的函數圖形不變。如果恒負，每一個負數的絕對值都是它的相反數。這兩個零點間的函數圖形由x軸下面對稱地反射到了x 軸上方。
       y =sinx  在原點的左側鄰近為負，右側鄰近為正。它的圖形在原點右側段不變，將左側段對稱地反射到上半平面，就是y =∣sinx∣的圖形。反射使得圖形在原點處形成一個尖角，不光滑了。
       這是否是一個普遍規律？不是！比如 y = x立方 與 y = | x立方 |  在 x = 0 點都可導。
       函數 y = x立方 的圖形叫“立方拋物線”。在點 x = 0，函數導數為 0，圖形有水平的切線橫穿而過。（潛臺詞：真有特色啊，突破了我們原有的切線印念。）要是取絕對值，圖形的原點左側段對稱地反射到上半平面，但水平的切線保持不變。新函數仍然光滑。這里的關鍵在于，函數值為0，導數值也為0，x = 0 是立方函數的重零點。
       綜合上述, 在f (x) 恒為正或恒為負的區間上，曲線 y = | f (x) | 和曲線 y = f (x) 的光滑性是一致的。只有在f (x) 的零點處，才可能出現曲線 y = f (x)光滑而曲線 y = | f (x) | 不光滑的狀況。
            數學三的考巻上有過這樣的4分選擇題。
       例31    f (x) 在點x = a 可導，則 | f (x) | 在 x = a 不可導若函數的充分必要條件是
                   （A） f (a) = 0且 f ′(a) = 0      （B） f (a) = 0 且 f ′(a) ≠ 0
                                  （C） f (a) > 0 且f ′(a) > 0      （D） f (a) > 0 且 f ′(a) ＜ 0
            分析  如果沒有思路 ，首先聯想 y = x  與 y =  | x | 即可排除（A）；
       俗語說，連續函數“一點大于0，則一段大于0”；相應絕對值就是自己。（C）（D）顯然都錯；只有選（B）。
     （畫外音：如果用代數語言，f (x)可導，f (a) = 0，而f ′(a) ≠ 0，則點a是f (x)的單零點。這道題該算擦邊題。）
       2．討論深化
       我在講座（2）中舉例，“連續A + 不連續B = ？”
       如果，“連續A + 不連續B = 連續C”  則  “ 連續C －連續A = 不連續B”
這與定理矛盾。所以有結論： 連續函數與不連續函數的和一定不連續。
       推理的關鍵在于，逆運算減法可行。
            自然類似有： 可導A +（連續 ）不可導B  = 不可導C。比如 y = x +∣sinx∣在點 x = 0 不可導。
       例32    函數 f（x）=∣sin x∣+∣cos x∣的不可導點是（？）
       分析   函數為“和”結構。無論是∣sin x∣的不可導點或∣cos x∣的不可導點，都是 f 的不可導點。即
                x = kπ  與  x = kπ +π/2 ，k = 0，±1，±2，…
        更深化的問題是： 可導A × (連續)不可導B ，是可導還是不可導？     比如 y = x ∣x∣在點0可導嗎？
        與“和”的情形相比，積的逆運算不一定可行。  當且僅當 A≠0 時，才有 C/A = B  所以
       結論1，若 f（x）在點 x0 可導，且 f（x0）≠ 0，g（x）在點x0 連續不可導，則積函數 y= f（x）g（x）在點 x0 一定不可導。
       結論2（*例33）已知函數 f (x) 在點 x = a 可導，函數 g (x) 在點 x = a 連續而不可導，試證明
              積函數  F（x）= f（x）g（x）在點 x = a 可導的充分必要條件是 f (a) = 0.
            證明 先證充分性，設  f (a) = 0  則  F (a) = 0
             令    h→0 ,    F ′(a) = lim (F(a+h)－F（a））/ h = lim f(a+h) g（a+h）/ h
                                                 = (lim (f(a + h) －f（a）)/ h ) lim g（a + h）
                            = f ′(a) g（a）
       再用反證法證必要性。設函數F (x)在點x = a可導而f (a) ≠ 0.，則由連續函數的性質可知函數f（x）在點x = a的某鄰域內恒不為零。逆運算除法可行。由結論1知矛盾。
       例34    設函數 f（x）可導，F（x）= f（x）（1+∣sinx∣），則 f（0）= 0 是F(x)在x = 0處可導的  
                  （A）充分必要條件。         （B）充分而非必要條件。
                   （C）必要而非充分條件。     （D）既非充分又非必要條件。     （選（A））
        分析 1+∣sinx∣是可導函數+連續不可導函數類型，在0點仍然連續但不可導。由上例結論知應選（A）
        例35   函數 y =（x平方－x－2）∣x立方－x∣的不可導點的個數是       
                      （A）3          （B）2          （C）1            （D）0     
              分析  函數 y 具“積”結構。y = f（x）g（x），可導函數 f（x）= x平方－x－2 只有兩個零點    x = –1，x = 2，而連續函數 g（x）= ∣x立方－x∣有不可導點 x = 0，x = 1，x = –1；（即 x3－x 的三個零點。）其中有兩個不是 f（x）的零點。積函數在這兩點不可導。（選（B））。
         實際上，x = –1 是積函數的而重零點。
         3．函數求導（以下所涉及的函數都是可導函數）
        函數求導越熟練，高等數學的感覺越好。只要回憶一下，小時候，九九表你背了用了多少年？！初中時，有理數運算算了多少年？！中學里，代數式運算你又算了多少年？！而學習微積分，你花了多少時間作求導計算？！自己就明白問題之所在了。
        求函數的導數，第一設問是，我對什么類型的函數求導？
        對初等函數求導，要點是學會熟練地對初等函數作結構分析。應該設問（步步設問）：
       “是對復合結構求導還是對四則運算結構求導？”
        對含有多個變量（有參變量）的表達式求導，要始終提醒自己：“是對表達式中的哪一個變元求導？”
        對分段函數求導，各段分別求導；定義分界點用定義求導      
        對冪指型函數求導，視 y = f（x）為恒等式，先取對數再求導，最后解出 y ′
          還有隱函數的求導法則；參數式所表述的函數求導；求乘積函數高階導數的Leibnitz（萊布尼茲）公式。
        沒辦法。這是首先必須要苦力干活的。沒有捷徑可循。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-3-2 18:35 編輯 ]

huidanglingj

[BAD CONTENT]

hanghang0773

老師辛苦了！謝謝老師~！

redyb

頂起，價值相當高。就這點東西我看了幾十小時書都沒看透，老師一點就透。

huyaoqing123

冒視看不懂哦

sdc2010

原帖由 戰地黃花 于 2010-5-4 22:30 發表
x →x0時，導函數的極限不一定存在。
請看我的貼子“有意思（4）……”。

連續函數，如果某點導數左極限=導數右極限，能推出可導且在該點導函數連續，對么？
如果左導數=右導數，只能推可導，不能推導函數連續，對么？

lnfxzzy2007

學習的最高境界就是喻學于玩之中啊 看來此君做到了

灰太男

謝謝，很受用

initialnine

非常好的帖子，掌握了一個新知識，呵呵

ipo1231

占地辛苦了啊