有意思（10）連續，可導，里普希慈條件

戰地黃花

函數在一點連續，隱含函數在此點鄰近有定義。
        函數在一點可導，則函數必定在此點連續。“可導”條件強于“連續”。
        函數在一點二階可導，則函數的一階導數必定在此點連續，且一階導數在此點鄰近有定義。
        函數在一點連續的充分必要條件是，（以此點為參照。）當Δx 趨于0 時必有Δ y 趨于0
              若函數 f (x) 在某區間內有定義，且對區間內任意兩點 x1 ，x2 總有
                 ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣，C為常數
就稱函數f (x) 在該區間內滿足里普希茲條件。
        此時，若任選區間內一點為中心點，自然有        ∣Δ y∣≤ C∣Δx ∣
       （潛臺詞：函數增量被自變量增量所控制。）
        這就表明，函數f (x) 必定連續。“里普希茲條件”強于“連續”。
        但是，進一步只能有 ∣Δ y / Δx∣≤ C  ，有界不一定有極限。滿足里普希茲條件，不能說明函數可導。

        若函數f (x) 在某區間內可導，且導數有界，∣fˊ(x) ∣≤ M
則,    對區間內任意兩點x1、x2，總可以運用拉格郎日公式得
                  ∣f (x1)-f (x2) ∣=∣fˊ(ξ)∣∣x1-x2 ∣，ξ在x1與x2之間
于是   ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ M∣x1-x2 ∣，即函數f (x) 在該區間內滿足里普希茲條件。
        綜合上述，有
                “可導”條件強于“里普希茲條件”， “里普希茲條件”強于“連續”。

        有趣的是，函數f (x) 可不可能在某區間內滿足下述條件呢？
        對區間內任意兩點 x1 ，x2 總有
            ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣的（1+α）次方  ， C，α 都是正常數
        此時，若任選區間內一點x0為中心點，自然有
              ∣Δ y∣≤ C∣Δx∣的（1+α）次方 ，即  ∣Δ y / Δx∣≤ C的α次方
令Δx 趨于0 ，可得  ∣fˊ(x0)∣= 0
              由點x0 的任意性知，在某區間內 ∣fˊ(x)∣≡ 0   ，即 fˊ(x)≡ 0，f (x) 必為常函數。
              逆向思維，這個條件太苛刻了。一般函數都不能滿足它。
        一元微積分講究條件，基本條件要記得準確。

milnor

呵呵，您最后的那個很強的條件就是Holder條件吧？能問下您的專業研究方向嗎？千萬別告訴我您是搞arithmetic algebra geometry的！呵呵。。best wishes!

jackina

謝謝老師

jocelyn52

謝謝樓主~

水門@魚兒

太好了太有用了

水門@魚兒

真不錯啊啊

kyltpy

感謝！

老牛一頭

關于函數中的絕對值，每次題中出現后，很是頭疼。。。。。。。唉。

灰太男

頂起。樓主萬歲

agming

留個腳印，感謝老師~~