有意思（10）連續(xù)，可導(dǎo)，里普希慈條件

戰(zhàn)地黃花

函數(shù)在一點連續(xù)，隱含函數(shù)在此點鄰近有定義。
        函數(shù)在一點可導(dǎo)，則函數(shù)必定在此點連續(xù)。“可導(dǎo)”條件強于“連續(xù)”。
        函數(shù)在一點二階可導(dǎo)，則函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)必定在此點連續(xù)，且一階導(dǎo)數(shù)在此點鄰近有定義。
        函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件是，（以此點為參照。）當(dāng)Δx 趨于0 時必有Δ y 趨于0
              若函數(shù) f (x) 在某區(qū)間內(nèi)有定義，且對區(qū)間內(nèi)任意兩點 x1 ，x2 總有
                 ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣，C為常數(shù)
就稱函數(shù)f (x) 在該區(qū)間內(nèi)滿足里普希茲條件。
        此時，若任選區(qū)間內(nèi)一點為中心點，自然有        ∣Δ y∣≤ C∣Δx ∣
       （潛臺詞：函數(shù)增量被自變量增量所控制。）
        這就表明，函數(shù)f (x) 必定連續(xù)。“里普希茲條件”強于“連續(xù)”。
        但是，進(jìn)一步只能有 ∣Δ y / Δx∣≤ C  ，有界不一定有極限。滿足里普希茲條件，不能說明函數(shù)可導(dǎo)。

        若函數(shù)f (x) 在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)有界，∣fˊ(x) ∣≤ M
則,    對區(qū)間內(nèi)任意兩點x1、x2，總可以運用拉格郎日公式得
                  ∣f (x1)-f (x2) ∣=∣fˊ(ξ)∣∣x1-x2 ∣，ξ在x1與x2之間
于是   ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ M∣x1-x2 ∣，即函數(shù)f (x) 在該區(qū)間內(nèi)滿足里普希茲條件。
        綜合上述，有
                “可導(dǎo)”條件強于“里普希茲條件”， “里普希茲條件”強于“連續(xù)”。

        有趣的是，函數(shù)f (x) 可不可能在某區(qū)間內(nèi)滿足下述條件呢？
        對區(qū)間內(nèi)任意兩點 x1 ，x2 總有
            ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣的（1+α）次方  ， C，α 都是正常數(shù)
        此時，若任選區(qū)間內(nèi)一點x0為中心點，自然有
              ∣Δ y∣≤ C∣Δx∣的（1+α）次方 ，即  ∣Δ y / Δx∣≤ C的α次方
令Δx 趨于0 ，可得  ∣fˊ(x0)∣= 0
              由點x0 的任意性知，在某區(qū)間內(nèi) ∣fˊ(x)∣≡ 0   ，即 fˊ(x)≡ 0，f (x) 必為常函數(shù)。
              逆向思維，這個條件太苛刻了。一般函數(shù)都不能滿足它。
        一元微積分講究條件，基本條件要記得準(zhǔn)確。

wubingwinner

支持一個 剛剛拜讀完 還要時間理解

agming

留個腳印，感謝老師~~

灰太男

頂起。樓主萬歲

老牛一頭

關(guān)于函數(shù)中的絕對值，每次題中出現(xiàn)后，很是頭疼。。。。。。。唉。

kyltpy

感謝！

水門@魚兒

真不錯啊啊

水門@魚兒

太好了太有用了

jocelyn52

謝謝樓主~

jackina

謝謝老師