華南師范大學(xué) 高等代數(shù) 數(shù)學(xué)分析 回憶版

zhe-ping

今年華師的試卷考了許多方程組的內(nèi)容，這挺意外的。本來以為會(huì)考許多方面知識(shí)（很擔(dān)心）
1.定義
(1)A x = 0的基礎(chǔ)解系
(2)矩陣的本征向量空間
(3)本原多項(xiàng)式
(4)空間V下子空間W的正交映射
(5)二次型f(x1,x2,...,xn)的典范型
(6)正定矩陣
2.證明:n次多項(xiàng)式最多不能超過n個(gè)根
（反證法，其截短的系數(shù)矩陣是類似于Vandermonder矩陣）
3.單位基e1,e2,e3,e4,V中線性變換p，p(e1),p(e2),p(e3),p(e4)(具體數(shù)值記不得)，求
Im(p)及Ker(p)
(實(shí)質(zhì)求p對(duì)應(yīng)的矩陣A的解空間以及A的行向量空間)
4.已知a+sqrt(c)是f(x)的一個(gè)根,f(x)屬于Q[x]
證明(1) (x-(a+sqrt(c))(x-(a-sqrt(c))|f(x)
(2)已知1+sqrt(2),1+i是首一多項(xiàng)式g(x)的根,g(x)屬于Q[x]，求g(x).
(思路將f1(sqrt(c))=f(a+sqrt(c))=q1+q2*sqrt(c),
f1(sqrt(c))=f(a+sqrt(c))=q1-q2*sqrt(c)=0.第二問題類似)
5.
6.(前貼已發(fā))
7.
8.已知A(4階矩陣，數(shù)值記不清)，A x=0的解空間為W，求W的正交空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.
(實(shí)質(zhì)是求A的行向量空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基)
9.V中的兩個(gè)線性變換p,q，p有n個(gè)相異的本征值,證明p的特征向量就是q的特征向量的充要條件是 p q = q p .
(證明必要性時(shí)注意到兩個(gè)對(duì)角矩陣可以交換即可,
p q(e1,...en)(x1,...,xn)'=q p(e1,...en)(x1,...,xn)'，
證明充分性時(shí),只須設(shè)q在p的特征向量e1,...,en下矩陣A，然后利用等式得出A是對(duì)角陣)

6.矩陣A
0 0 1
1 1 x
1 0 0
當(dāng)x為何值時(shí)，A可對(duì)角化.

我首先計(jì)算出A的特征值1（兩重代數(shù)重?cái)?shù)），-1;
P^(-1) A P = J = diag(1,1,-1);
r(lamda*I - A)=r(lamda*I - J)=3-2=1;
作(I-A)行變換化成
1 0 -1
0 0 -1-x
0 0 0
原來時(shí)算出x=-1
但不知怎樣檢查改為x=+1,還把結(jié)論寫在最前面

（希望這老師看下去,俺只寫錯(cuò)了個(gè)結(jié)果）

（另外，別人說這樣做要么沒分，要么有大半分?jǐn)?shù)，所以忠心告誡下年考生一般不要把結(jié)論寫在最開頭）

暫時(shí)回憶了這么多，希望考過的同學(xué)能補(bǔ)充一下，方便一下
最后考場(chǎng)有個(gè)女生數(shù)學(xué)分析她第一個(gè)交卷，高等代數(shù)又是她第一個(gè)交卷，政治第二個(gè)交卷。這么利害人物希望她就報(bào)高點(diǎn)學(xué)校，這樣做會(huì)嚇?biāo)滥承┬?/div>

今年重點(diǎn)考查了極限語言的運(yùn)用
說說印象比較深刻的題目
1.lim(a^x-1/(a-1)/x)^(1/x)，a>0,a~=1.
(這個(gè)題目是試卷中唯一道計(jì)算題，其余都是證明題.花了我兩十多分鐘才做完,是全部題目中用時(shí)最長(zhǎng)的.題目本身不難，但形式看起來不順眼，分a<1,a>1討論就可以獲得結(jié)果.)
9.S x*f(y) dy - y/f(x) dx ，其中S是線積分符號(hào)，C是取正向的(x-1)^2+(y-1)^2=1.
f(x)>0.

證明 S x*f(y) dy - y/f(x) dx >= 2 pi
(題目缺了dy ,當(dāng)時(shí)做我補(bǔ)充上去了，希望沒補(bǔ)錯(cuò)吧.
這題主要利用Green公式以及x-1,y-1的對(duì)稱性)

也不補(bǔ)充其余題目了，其余同網(wǎng)絡(luò)可以找到的歷年真題難度一致.

考試時(shí)，也有一位男生的高手在我做到第1頁末尾時(shí)，向老師說題目有問題(估計(jì)是第2頁最后一題啊)

當(dāng)時(shí)還不知，直到做第9題，才突然發(fā)現(xiàn)這位大師級(jí)人物的亂入，考場(chǎng)有這樣的怪物存在，太傷人了吧

哥們，這離考試還有一個(gè)多小時(shí)啊，你做得太神了吧

84988037

請(qǐng)樓主不要忽悠人！自己記不起來就不要亂說，免得禍害后人。

zhe-ping

zhe-ping 發(fā)表于 2012-2-3 22:30
謝謝你的提醒！
若原題沒加上dy，我是證不出的。如果你能證明的話，就寫個(gè)簡(jiǎn)單思路來(我對(duì)此非常感謝)。
...

zhe-ping

1585041663 發(fā)表于 2012-1-29 23:35
樓主你數(shù)分最后一題錯(cuò)了，題目本來就沒有dy，你為什么要加上去呢？這是因?yàn)镼(x，y)=0啊 ...

謝謝你的提醒！
若原題沒加上dy，我是證不出的，而且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)好象不成立的。如果你能證明的話，就寫個(gè)簡(jiǎn)單思路來參考下(我對(duì)此非常感謝)。
另一方面，若沒加上dy的話，原式處應(yīng)加上括號(hào)之類(這個(gè)我記得比較清楚，原題是沒加括號(hào)的)。
另外，好象高教的數(shù)學(xué)分析課本還沒見過這樣簡(jiǎn)寫。

1585041663

樓主你數(shù)分最后一題錯(cuò)了，題目本來就沒有dy，你為什么要加上去呢？這是因?yàn)镼(x，y)=0啊

清風(fēng)1195963215

謝謝樓主！

1187272310

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