考研數學講座（47）特征理論起點高

戰地黃花

《線性代數》的第二板塊是“方陣譜理論基礎知識”。中心問題是“方陣A與對角陣相似的充分必要條件。
        人們用“光譜分析”方法來識別材料。我們把“特征理論”又稱為“譜理論”。是感到矩陣的特征值是其深層次的標志。在各類應用中，如“層次分析法”（AHP）等，矩陣特征值都起著關鍵作用。
      （畫外音：知道“光譜”嗎？燈謎“光譜，（打一國名）?！敝i底，以色列。不同的材料一定有不同的光譜。）

         1.方陣的特征值與特征向量
              定義 —— 設A是n階方陣，若有非零向量α數λ，滿足Aα=λα，則稱λ是A的特征值，α是A的屬于特征值λ的特征向量。
        由于 Aα=λα  即 （A-λE）α= 0 ，齊次線性方程組 （A-λE）x = 0 有非零解α，（其系數矩陣的列向量組線行相關。）其系數行列式必為0
              |A-λE | = 0是關于未知量（A的特征值）λ的一元n次方程。
        代數基本定理 ： 一元n次方程在復數域內有n個根。其中k重根算k個根。
       （畫外音：哇噻。真牛??！一個定義給出兩個概念，定義中還隱含著算法。）

         多項式 f（λ）=|A-λE | 稱為方陣A的特征多項式。在復數域內有
         f（λ）=|A-λE |=（-1）n次方（λ－λ1）（λ－λ2）……（λ－λn）
         由方程|A-λE | = 0解出A的n個特征值；對每個特征值λ分別解（A-λE）x = 0，全體非零解組成A的屬于λ的特征向量集合。
        *數學一的考生要知道高級語言，“A的屬于λ的特征向量 + 0向量”稱為A的屬于λ的特征向量子空間。
       （潛臺詞：煩啊！要解一個一元n次方程，還要解n個齊次線性方程組。）
         從向量的角度看待定義式  Aα=λα，即向量 Aα∥λα，兩個向量對應的分量成比例，比值就是λ
                特征值與特征向量定義的幾何意義，一度成為研考的考點。其基本邏輯為
         Aα=λα  ——→ Aα∥α  ——→ 兩個向量的對應分量成比例 —→
                        ——→ n個分量得到n-1個方程 ——→最多可以確定A或α中的n-1個參數。
       （畫外音：你有這樣的觀念了嗎？一眼看去，Aα就是個向量。）

         例62  方陣A可逆，且A的每行元素和都等于α，證明逆陣 Aˉ1 的每行元素和都等于1/α
               分析  題面有點嚇人，實際上只是個游戲。
         如何能得到“每行元素和”？玩熟內積的人會想到列向量 β=（1，1，---，1）ˊ，讓它與矩陣的行向量與作內積，就相當于把行向量的各分量相加。即作矩陣乘法得
            Aβ=（α，α，---，α）ˊ=α（1，1，---，1）ˊ
             （潛臺詞：（n×n）×（n×1）=（n×1））
         這表明α是A的特征值，β是A的屬于特征值α的特征向量。
         等式兩端同時左乘以矩陣與數1/α，得  
            Aˉ1β=(1/α)β=（1/α， ---，1/α）ˊ，即 Aˉ1 的每行和都等于1/α  

               特征值的“傳遞”算法 ——
           由特征值和特征向量的定義可以推證得
          （1）        如果方陣A滿秩且λ是A的一個特征值，則
                        1/λ是矩陣（A逆）的一個特征值；|A|/λ是其伴隨矩陣A*的一個特征值。
          實際上，若A可逆，且A有特征值λ，則有數λ及非零列向量α成立關系式
            Aα=λα —→ α=λAˉ1α —→Aˉ1α = α/λ—→|A| Aˉ1α = |A|α/λ —→  A*α =（|A|/λ）α
                  還有進一步的定義游戲。
           (2)   若   Aα=λα，則  A2α= A Aα= Aλα= λAα=λ2α
                                                                   (A2+ 2E)α=(λ2+2)α               ……
          一般地說，設φ(t)是個多項式，把 t 換為方陣A，常數項添加單位矩陣E，就得到多項式矩陣 φ(A)；
          若Aα=λα，則φ(A)α=φ(λ)α，即      若A有特征值λ，則多項式矩陣 φ(A)有特征值φ(λ)。
          (1)與(2)是再好不過的定義游戲.我把它們稱之為“特征值的“傳遞”算法”。
           最最重要的是，在以上多種傳遞方式中，相應的特征值有相同的特征向量。
          （畫外音：在傳遞過程中，特征向量就象是“陪嫁物”一樣被傳送了。）

           例63  已知四階方陣A 滿足 |√2E + A|=0，且 AAˊ = 2E，|A|<0，則 A的伴隨矩陣 A*  有一個特征值為（ ？ ）
          分析  |√2E + A|= 0   即  | A-(-√2)E |= 0 , A有特征值 λ= -√2
                                由 AAˊ = 2E 兩端取行列式，得 |A|2 = 16  ，|A|=-4 ，答案 |A|/λ = 2√2

                 2.特征值與特征向量的性質
         （1）屬于不同特征值的特征向量線性無關。
         （2）|A|= A的n個特征值的連乘積。
         （3）可逆陣的特征值都不為0
                教材上都不證明（1）。對于數學一的考生來說，特殊情形“若n階方陣A有n個單特征值，試證明屬于不同特征值的特征向量線性無關?！笔且粋€不錯的練習題。
         由于f（λ）=|A-λE |=（-1）n次方（λ－λ1）（λ－λ2）……（λ－λn）
令      λ= 0，就有  |A|=λ1λ2……λn  ，這就說明了（2）和（3）

         眾所周知，|A+B|難解。有了A的n個特征值，我們可以計算 |多項式矩陣 φ(A)|
                例64     已知三階方陣A 的特征值為 1，2，3 ；求 |2A2－A|，|A-5E|
                分析  A有特征值1，2，3；則2A2－A 有特征值 1，6，15，|2A2－A|= 90
                           A有特征值1，2，3；則A-5E有特征值   -4，-3，-2，|A-5E|=-24
                例65   A的屬于不同特征值的特征向量，其線性組合一定不是特征向量。
         分析  不仿把問題簡化。設λ1，λ2是A的特征值兩個不同的特征值。ξ1與ξ2分別是其特征向量。
       （反證法）若 αξ1+βξ2 是A 的特征向量，則它要屬于某個特征值λ，且由定義有
           A（αξ1+βξ2）=λ(αξ1+βξ2)，     去括號得            αλ1ξ1+βλ2ξ2  =αλξ1+βλξ2
即            α（λ1－λ）ξ1 + β（λ2－λ）ξ2 = 0
                屬于不同特征值的特征向量ξ1與ξ2 線性無關，只有 λ1=λ=λ2      矛盾。
         (畫外音：也可以先說，“若 αξ1+βξ2是A的特征向量，則ξ1，ξ2，αξ1+βξ2線性相關，從而αξ1+βξ2只能屬于特征值λ1或λ2，……)

               3.屬于重特征值的特征向量集的秩
          屬于重特征值的特征向量集的秩，這是本部分的重點和難點。
         （1）每個單特征值都有屬于自己的特征向量集。且 相應的特征向量集的秩 = 1
                （潛臺詞：（A-λE）x = 0解集秩 = n- r(A-λE) = 1）
           這樣一來，如果λ是n階方陣A的單特征值，則有“反控制”： r(A-λE)= n-1)
                 （2）對于A的重特征值，只有結論：
                     “k重特征值相應的特征向量集的秩 ≤ 特征值的重數”
               （潛臺詞：先要搞清楚重特征值的特征向量集的秩，才有“反控制”計算r(A-λE)。）
          在微分方程理論中，我們把“k重特征值相應的特征向量集的秩 < 特征值重數”的情形。稱為“重特征值有虧損”。
           “重特征值有虧損”的后果會自然體現在中心定理內。即A不能與對角陣相似。
            一個推理游戲 ——
                      設三階方陣A有3重特征值λ，且λ不虧損?！?nbsp; 屬于λ的特征向量集的秩 = 3
                                                                          —→（A-λE）x = 0解集秩為3
                                                            —→ 因為（（A-λE）x = 0解集秩）= 3-r (A-λE)，故只有r (A-λE) = 0
                                                  —→ 只能A =λE
                      逆向思維：太特殊了！不這樣就必然要虧損。  “重特征值有虧損”，應該是常有的事。

          例56 已知非零的n維列向量α與β正交。作方陣A = αβˊ，求A2及A的特征值與特征向量。
          分析  求A2是個提示。  A2 = αβˊαβˊ=α（βˊα）βˊ= 0（矩陣）
         （畫外音：左行右列作內積，左列由行得矩陣。（n×1）（1×n）= n×n ）
           零矩陣只能有n重0特征。進而A也只能有n重0特征。
           此時，解齊次線性方程組 （A-λE）x = 0  即解     A x = 0
                   以下是解齊次線性方程組的標準程序：（畫外音：記熟了，就有上“高速路”的感覺。）
           由矩陣乘積秩定理，顯然有r (A)=1，故，解集秩 = n-1，且只有一個方程是獨立的。
           又不仿設 α1β1≠0 ；選第一個方程  α1β1 x1+ …… +α1βn x n = 0  來計算。
           將自由未知量組（x 2，------， x n ）ˊ 取為n-1 維向量的標準正交組，逐一代回這個方程，解出x1，再回頭將x1添入到標準正交組各向量作第一分量，就得到基礎解系。
                 ξ1 =（β2/β1，1，0，……，0）ˊ，ξ2 =（β3/β1，0，1，……，0）ˊ，
                                       ……，     ξ（n-1） =（βn/β1，0，0，------，1）ˊ
           特征向量  ξ = C1ξ1 + C2ξ2 +------，+ C（n-1）ξ（n-1）  ；系數不同時為0
                （潛臺詞：n重0特征的特征向量集的秩為n-1，有虧損！）

又是定義游戲；又要知道點一元n次方程基礎知識。又要熟練地運用齊次線性方程組解集構造理論，快速地求出基礎解系；還需要理解重特征值可能的“虧損”。特征理論的起點高啊。

老牛一頭

戰地黃花，昨年我就在關注你了，你到底是誰？？？？？

wubingwinner

一位很好的教師 謝謝他啦 我尊敬的戰地老師

fll514

好貼，M