有意思（5）.定積分上限函數與“磨光變換”

戰地黃花 · 發表于 2010-5-6 20:56

       被積函數是連續函數 f（x）的定積分上限函數 F（x）可導，且導數就是 f（x）。
            逆向思維，這就用“構造法”證明了：連續函數一定有原函數。
      把“作上限函數”視為一種變換方式，從條件上看，相當于通過變換將連續函數提升為可導函數。《廣義函數》理論中，在不光滑點（連續不可導點）微局部地實施變換，就好象是用“沙輪”把曲線“尖點”給磨光了。故稱之為“磨光變換”。
      當年武漢X中有個學生入選中國中學生奧數代表隊。在清華北大集訓中，他將這套技術學得很精。正式參加世界大賽時，決賽卷上最后的坡度題恰好用“磨光變換”最簡單。這個小子設計了“磨光變換”逼近列，很快地完成了解答。自信無誤之際，竟在草稿上畫卜克游戲玩。新華社電訊稿報道中學生奧數代表隊奪金時，記者把“磨光變換”寫成了“魔光變換”，好不嚇人哦。
      這里有一個聯想，如果 f（x）僅有第一類間斷，那么相應的上限函數是否一定連續呢？
      結論是，“相應的上限函數一定連續。”
            （畫外音：考研題中出現過一次。）
      在《概率統計》中，連續型隨機變量X的分布函數就是密度函數的上限函數。它一定連續。由于密度函數非負，證明這個結論，用連續的增量定義最簡明。
      要注意的是，設 f（x）有跳躍間斷點 a ，相應的上限函數在點 a 雖然連續，卻一定不可導。即改善是有一定限度的。
      要證明這個結論正好用上我的“有意思（4）右導數與導函數的右極限”。
      實際上，設點 a 左側，f（x）= 初等函數φ(x)，右側 f（x）= ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0) 形成跳躍間斷。記 f（x）相應的上限函數為 F（x），則 F（x）在點 a 連續，但是
      左側求導 F′(x) = φ(x) ，右側求導 F′(x) = ψ(x)  ，φ(x-0)≠ψ(x+0)
F（x）在點 a 不可導。
      在點 a 的鄰域內，F（x）不是 f（x）的原函數。
            相當一些“模擬卷”上有這樣的題目。可以算是“擦邊球”。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-5-6 21:00 編輯 ]

dounaiman · 發表于 2010-8-15 11:21

對于這個問題我是這樣理解的，如果 f（x）僅有第一類間斷,不難想象他的幾何意義，即f(x)與橫坐標軸所圍成的面積一定是連續變化的，即“相應的上限函數F(X)是否一定連續”，而在此間斷點，雖然F(X)連續，但未必可導，從圖像上來看此間斷恰是一個轉折點。那么顯然就有F（x）不是 f（x）的原函數。
我不是數學專業，本科階段只學了最簡單的微積分，嚴謹的數學推理對我來說不可能（這不是一天的功夫），短期也沒必要。[em:18]

shendannuaa · 發表于 2010-8-15 11:31

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lhclhx · 發表于 2011-8-24 11:27

如果 f（x）僅有第一類間斷，那么相應的上限函數是否一定連續呢？結論是，“相應的上限函數一定連續。戰地老師，你好，對這個問題我還無法理解，我記得原來我看書時記得上面說：如果 f（x）僅有第一類間斷，那么相應的上限函數一定不連續，而當如果 f（x）存在第二類間斷，那么相應的上限函數要具體的分析才可判斷？ 希望老師能解答

ssqaaaaaaaaa · 發表于 2011-8-24 13:19

lhclhx 發表于 2011-8-24 11:27
如果 f（x）僅有第一類間斷，那么相應的上限函數是否一定連續呢？結論是，“相應的上限函數一定連續。戰地 ...

f(x)一類間斷是原函數一定不連續

ssqaaaaaaaaa · 發表于 2011-8-24 21:20

06443420 發表于 2011-8-24 20:39
我明白你的意思，我的意思可以歸結為這樣一句:f(x)在a處有跳躍間斷點時(也是第一類啊)，f(x)在a處有定義 ...

。。。
原函數存在于否一定要相對區間而言，脫離區間談原函數是無意義的。這就像無窮小無窮大的描述一樣:1/x是x-->0時的無窮大，但是我們不能說1/x是無窮大
一個道理，假設f(x)定義域為R，那么F(x)是f(x)(-無窮，a)(a,+無窮)的原函數，F(x)不是f(x)(-無窮，+無窮)的原函數
單講F(x)是不是f(x)的原函數和單問1/x是不是無窮大一樣，這怎么能判斷?

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有意思（5）.定積分上限函數與“磨光變換”

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