考研數學講座（77）數字特征知根底

戰地黃花 · 發表于 2010-5-22 07:40

為了量化研究，人們在樣本空間上建立基本點與數之間的一一對應關系，記為X或Y，…… ，稱為隨機變量。
   研究隨機變量，一個重要的著眼點是，隨機變量取值的分布狀況。
   測量某個客觀存在的數據，測量結果必定有誤差。測量結果是隨機變量。通常我們會多測幾次，以幾次數據的平均值為測量值。這個極其普通的作法，卻恰好滿足一個優化條件。
《高等數學》知識告訴我們，優化問題：
      “已知數a的n個近似值，x1，x2，……，x n，求x0，使其與這n個值的平方平均誤差最小。”即
                     Min{（x-x1）2+（x-x2）2 + --- +（x-x n）2}
的答案就是這n個數的平均值。
   之所以給偏差以平方，是要避免正負相消而失真。
   （畫外音：請聯想隨機變量的均值，請比較這個優化條件與隨機變量方差的定義。）
   在有n個指標集的評價問題中，給每個單項指標打一個分數，x1，x2，---，x n ；如果要進一步考慮各個指標的重要性，就不會簡單地給一個平均分，而是先給各個指標賦“權”。即給出總和為1的n個正小數，p1，p 2，---，p n，其大小分別表示相應那個指標的重要性。再取其“加權平均值”。即 x0  =  p1 x1 + p 2 x 2 + --- + p n x n
         前述“取平均值”，可以視為各次測量結果權重相等。都為1/n

      1.離散型隨機變量的數學期望（均值）
      設X是離散型的隨機變量，它有n個可能的取值。每一個取值表示一個可能出現的試驗結果。這個取值的概率，一定意義上顯示了“它出現的權利大小”。概率又正好有非負性且總和為1的特點，因而可以視為“權重”。
   定義離散型隨機變量的數學期望    E(X) = p1 x1 + p 2 x 2+ ……+ p n x n
         這就好比是取X的加權平均值。
   在X有可列無窮多個取值的情形，如果相應的級數收斂，則E(X)也存在。

    離散型隨機變量函數的數學期望 ——
      如果 g(t )是個連續函數，X是隨機變量，那g (X)當然也是隨機變量。特別的，若X是離散型隨機變量，那g (X)當然也是離散型隨機變量。 X → g (X) ，相當于一次數據轉換。最重要的是，立即對如影隨行的概率作相應的轉換。
   （1）如果 X →g (X) 是一一對應關系，則
            X的分布列 x i → p（x i）直接就是 g (X) 的分布列 g (x i) → p（x i）
   （2）如果 X →g (X) 不是一一對應關系，比如有幾個X值都產生相同的函數值g (x1)，則要把這幾個點的概率加起來，作為g (x1)的概率。整理完以后再寫出分布列。
      比如  若隨機變量X的分布列為 -1    0    1
                                                                     0.1    0.4    0.5
則隨機變量 X 2 的分布列為       0    1
                                                   0.4    0.6
      有趣的是，計算E(g (X))，可以不去管函數關系是否一一對應。只需直接把所有的積項g (xi) p（x i）加到一起。實際上，如果 g (x1) = g (x2) ，則          g (x1) p（x1）+ g (x 2) p（x 2）= g (x1)（p（x1）+ p（x 2））
   計算過程中自然地進行了整理。
   2 連續型隨機變量的數學期望
         連續型隨機變量的定義很有特色。與《線性代數》中特征值與特征向量的定義一樣，一個定義界定了兩個概念。定義中還蘊含有概率的算法。
   定義 —— 如果存在非負可積函數 f (x) ，使得隨機變量X在任一區間（a，b）內取值的概率恰為 f (x) 在此區間上的積分。且f (x) 在實軸上的積分為1，則稱隨機變量X為連續型隨機變量；稱 f (x) 為X的分布密度。
   分布密度就是連續型隨機變量X的數學模型。
         這里有一個隱情。在樣本空間中，事件與集合相對應。概率的基礎是集合。所需要的積分是建立在集合基礎上的“勒貝格積分”。由于大學數學只教了建立在“區間”基礎上的“黎曼積分”，因而在這里就只能打模糊說話。把積分看成黎曼積分來算。
   在“黎曼積分”范疇內沒有“函數可積的充分必要條件”； “勒貝格積分”則回答了這一問題。由此可以看到，在集合基礎上討論問題，更深入，也更一般化。
   連續型隨機變量X的數學期望 —— 對于連續型隨機變量X，如果它的密度f (x) 在實軸上絕對可積，則定義其數學期望為：
      E(X) = x f (x)在實軸上的積分       （黎曼積分中稱為“廣義積分”。）
   （畫外音：不必細究“可積”性，只需知道，連續型隨機變量X可能不存在數學期望。）
      連續型隨機變量函數的數學期望 ——若X是連續型隨機變量，其分布密度為f (x)，g(t )是個連續函數，在積分收斂時，定義    E(g(X )) = g(x) f (x)在實軸上的積分
      特別地，如果  E（X）存在  ，則  E (a X + b) = a E(X) + b

         3，隨機變量X的“方差”D (X)
         要描述隨機變量X取值的分布態勢。X的第二個數字特征“方差”D (X) 應運而生。
   方差D (X ) 以數學期望E(X)為參照物，描述隨機變量X的整體分布狀態。即隨機變量X的取值對于其數學期望的平均偏離。
   (在“存在”的前提下——)
         離散型隨機變量X的方差 ——  D (X ) = E ( (X-E(X)) 2 )
         連續型隨機變量X的方差 ——  若X有密度函數f (x)，則
               D (X )  =  E ( (X-E(X)) 2 ) =  (x-E(x)) 2 f (x) 在實軸上的積分

   方差定義式可以繼續運算：    D (X ) = E ( (X-E(X)) 2 ) = E（X 2－2X E(X) + E(X) 2）
因為數學期望的運算是線性的，且常量E(X)的期望就是自己。故
                     D (X ) =上式 = E（X 2）－ E(X) 2 即 D (X ) + E(X) 2 = E（X 2）
               通常記 σ2 = D (X )    ； μ= E(X)    則    σ2+μ2= E（X 2）
   一定要熟練運用這個平方關系。
   （畫外音：為了加深印象，不妨說這是“概率勾股定理”。）
      對于任意實數a與b，若隨機變量X的方差存在，則 D (a X + b)  =  a 2D(X)  ，顯然  D（b）= 0
            (畫外音：不要忘了，隨機變量可能不存在均值或方差。)

            例35  設有隨機變量X，滿足，μ= E(X) > 0 ，σ平方= D (X ) > 0 ，則對任意常數C，必有
            (A) E((X-C) 2）= E(X 2) -C 2       (B) E((X-C) 2）= E((X-μ) 2）
            (C) E((X-C) 2）＜ E((X-μ) 2）  （D）  E((X-C) 2）≥ E((X-μ) 2）
      分析很多人不懂得，遇上這樣的問題，要首先考慮能否計算。實際上由平方關系得
               E ((X-C) 2）= D (X-C )  +（E(X-C)）2 = D (X ) +  (μ－C) 2
而             E ((X-μ) 2）= D (X )  ，故 E((X-C) 2）≥ E((X-μ) 2），應選（D）。
      這個考題有“概念含金量”。它表明，方差的定義具有“最小性”，以數學期望E(X)為參照物是很合理的。

      4.切比雪夫不等式與“三σ定律”
         切比雪夫不等式 —— 設隨機變量X的方差存在，則對任意正數ε，總有
                     P (∣X-E(X) ∣≥ε) ≤ D (X ) / ε2
            為了理解方便，我用其逆事件的概率，重寫切比雪夫不等式：
                              P (∣X-E(X) ∣<ε)> 1-D (X ) / ε2
      若取 ε=σ，  則具體有 P (∣X-E(X) ∣<ε) > 0，沒有實際意義。
      若取 ε= 2σ，則具體有 P (∣X-E(X) ∣<ε) > 3/4 = 0.75
            若取 ε= 3σ，則具體有 P (∣X-E(X) ∣<ε) > 8/9 ≈ 0.89
         這個結論俗稱為“三σ定律”。它顯示了隨機變量X總體的分布特點。即X以0.89以上的概率落入區間（μ－3σ，μ+ 3σ）內。也顯示了隨機變量數字特征的應用背景。
      (畫外音：巨牛啊，只要隨機變量X的方差存在，（μ－3σ，μ+ 3σ）就是其置信度超過0.89的置信區間。)
         從ε=σ的情形可以看出，切比雪夫不等式較為粗糙，且不利于我用的這一方向。事實上，如果隨機變量X服從正態分布。則X以0.997的概率落入區間（μ－3σ，μ+ 3σ）內。
   （潛臺詞：這與統計部分“參數的區間估計”是一個意思，兩個角度。）
      一個有趣的應用范例——設計公共汽車的車門高度。可以針對需求國家或地區的人的身高來個性化。即通過統計資料算出μ與σ的近似值。取門高為 μ+ 3σ 就行了。

戰地黃花 · 發表于 2010-5-24 07:33

講座（77）與(78)配套,完整地顯示了研究隨機變量的方法.

ghost1708 · 發表于 2010-5-26 21:17

非常幫，謝謝您的良苦用心了！

wubingwinner · 發表于 2010-6-2 22:02

謝謝您啦辛苦啦考研論壇能看到您的貼子是我最大的收獲

machael1015 · 發表于 2010-9-13 12:40

有沒有完整版的啊我想下來好好看呵呵

sdc2010 · 發表于 2010-11-6 11:39

這個考題有“概念含金量”。它表明，方差的定義具有“最小性”，以數學期望E(X)為參照物是很合理的。
一個有趣的應用范例——設計公共汽車的車門高度。可以針對需求國家或地區的人的身高來個性化。即通過統計資料算出μ與σ的近似值。取門高為 * 3σ 就行了。
這種話畫龍點睛

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