考研數學講座（48）(49)中心定理路簡明,錦上添花對稱陣

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-6-7 19:15

矩陣與對角陣相似問題，是矩陣譜理論中，“矩陣法式”討論的特殊情形。
    1. 矩陣的相似
         定義—— 如果存在滿秩方陣P，使得方陣 A = Pˉ1BP ，就稱矩陣A與B相似。
   （畫外音：請對比，矩陣A與B等價的充分必要條件是存在滿秩方陣P和Q，使得  A = PBQ
         要是你研究式地學習，你可以主動地“折騰”一下定義。就算是練練手。
   （1）對相似的定義等式，方陣 A = Pˉ1BP ，兩端取轉置。
                  Aˊ=（(Pˉ1BP）ˊ 即  Aˊ= PˊBˊ(Pˉ1) ˊ
如果有 (Pˉ1) ˊ= (Pˊ) ˉ1 ，（可以證明！）則 Aˊ= PˊBˊ(Pˊ) ˉ1
   結論：如果 A 與B 相似，關聯矩陣為 P ，則 Aˊ與Bˊ也相似。關聯矩陣為 (Pˊ) ˉ1
   （2）設 A 與B 都可逆，對定義等式，方陣 A = Pˉ1BP ，兩端取逆。
                  Aˉ1 = （(Pˉ1)BP）ˉ1  ，即  Aˉ1 = Pˉ1Bˉ1P
         結論：如果 A與B 相似，則 Aˉ1 與 Bˉ1 也相似。關聯矩陣 P 不變。

   例69    試證明滿秩矩陣 A 與 B 相似的充分必要條件是，A* 與 B* 相似
   分析  設 A 與 B 相似，關聯矩陣為 P，對定義等式兩端取“伴”（即取*），得
                  A* = （(Pˉ1BP）* = P*B*(Pˉ1)*
由 P* = | P| Pˉ1，(Pˉ1)* = | Pˉ1| P ，得  A* = Pˉ1B* P ，A* 與 B* 相似。
   （畫外音：或對定義等式兩端取逆，  Aˉ1 =  Pˉ1 Bˉ1 P ，A與B 相似則 | A| = | B|，于是
               | A| Aˉ1 = | B| Pˉ1Bˉ1P ，即 A* = Pˉ1 B* P
         如果設 A* 與 B* 相似，關聯矩陣為 P ，A* = Pˉ1 B* P ，即
         | A| Aˉ1= Pˉ1 | B| Bˉ1 P ，消去行列式后等式兩端取逆，即可完成證明。
方陣相似關系的性質 ——
         （1）相似關系有傳遞性。即若矩陣A與B 相似，B與C 相似，則A與C 相似。
   （2）相似的矩陣一定等價。
   （潛臺詞：由乘積的秩關系知，相似矩陣的秩相等。）
   （3）相似矩陣有相同的特征值。
   （潛臺詞：相似矩陣的行列式相等。相似矩陣有相同的特征多項式。相似矩陣不一定有相同的特征向量。）
   （4）矩陣A與B相似，φ(t)是個多項式，則多項式矩陣 φ(A)與φ(B)相似。
      實際上，若有滿秩矩陣 P ，使得 A = Pˉ1 BP ，則
               A的k次方 = A?A?…… ?A  = Pˉ1 BP?Pˉ1 BP?……?Pˉ1 BP =  Pˉ1（B的k次方）P
      （乘法滿足結合律）,  這就表明，（A的k次方）與（B的k次方）相似。
               ……    ……
            A - λE 就是個一次多項式矩陣，相應著一次多項式 t - λ  ；因而若矩陣 A 與B 相似，則
矩陣 A - λE和矩陣 B - λE相似。

      2，方陣A與對角陣相似的充分必要條件
            《線性代數》的第二板塊的中心問題是“方陣A與對角陣相似的充分必要條件。”
         中心定理 n 階方陣A與對角陣相似的充分必要條件是，A有n個線性無關的特征向量。
      中心定理的證明，只不過是矩陣乘法表達方式的一個變化，加上矩陣相等的定義。這對每個學生都是一個很好的練習.
      設有滿秩矩陣P，使得，Pˉ1 AP = Λ（對角陣），即 AP = PΛ，且設對角陣Λ的主對角線上元素為
                  λ1，λ2，  ……，λn
            把P按列分塊，  A（ξ1，ξ2，------，ξn） = （ξ1，ξ2，------，ξn）Λ
進而有       （Aξ1，Aξ2，------，Aξn）=（λ1ξ1，λ2ξ2，------，λnξn）
   （潛臺詞：左邊（1×1）（1×n），右邊（1×n）（n×n），乘積都是（1×n）階列分塊陣。）
      最后用矩陣相等的定義得  A ξ j = λj ξj    ，j =1，……，n    ，各運算式皆可逆。
      中心定理的證明過程表明，若n 階方陣A 能與對角陣相似。則這個對角陣Λ 的主對角線上元素就是它的 n 個特征值。相應的 n 個線性無關的特征向量（列）排成關聯矩陣 P
            由特征值與特征向量知識直接得到判定定理（充分條件）：
      （1）若n 階方陣 A 有n個單特征值，則 A 能與對角陣相似。
      （2）若n 階方陣 A 的每個重特征值都不虧損，即每個k 重特征值擁有的特征向量集的秩一定為 k，則 A 能與對角陣相似。
      （潛臺詞：重特征值虧損的嚴重后果是，矩陣不能與對角陣相似。）
     例70  二階方陣A滿足 | A|< 0 ，A一定能和對角陣相似。
      分析由特征多項式 φ(λ)=|A-λE | 知 φ(0)= |A|，即（二次的）特征多項式常數項為|A|，其兩根之積為負，兩根反號，當然都是單特征。
         例71  (雜談)
               （1）零矩陣是最特殊的對角陣。它有n重0特征值。
      （2）把關聯矩陣P取成單位矩陣E，就能說明每個對角陣與自己相似。
      （3）  主對角線上全是數0的上（下）三角陣也具有n重的0特征。但是這些上（下）三角陣的秩大于或等于1，因而它們不能和對角陣相似。
      （潛臺詞：隨便寫一個都是反例，A與B有相同的特征值，A與B不一定能相似。）
      （4）如果對某一自然數k ，A的 k-1次方≠ 0（陣）而 A的 k次方 = 0（陣），就稱A是“冪零陣”。顯然“冪零陣”A有n重0特征值。“冪零陣”A不能與對角陣相似。
      （5）把 n個實數放到主對角線得到對角陣。無論按照什么順序放，所產生的對角陣都彼此相似。
這是因為，我們選定其中一個對角陣以后，其它順序的對角陣都是由它的特征值排成的。由相似關系的傳遞性知它們彼此相似。

      基本研考題 —— 利用三階方陣A能與對角陣相似的條件,求A中參數
            借助于A有重特征的情形，考試中心編制了又一類大分值考研試題——
      “已知含有參數的矩陣A能與對角陣相似，且A有一個二重特征值，試確定A中的參數值。”
      數學二的考題也達到了這個難度。要拿分嗎，先背熟相應的邏輯推理。
      由于解一元高次方程的困難，研考題通常是給一個含參數的3階矩陣A ，A有一個單特征和一個二重特征值λ
              例72（基本推理）
      A能與對角陣相似 —→ A有 3個線性無關的特征向量
                           —→ A的屬于二重特征值λ的特征向量集的秩一定為2
                                                      —→ 齊次線性方程組（A-λE）x = 0的解集秩為2
                                                            —→該方程組系數矩陣A-λE的秩只能為 3-2 = 1
                                                                        —→ A-λE的二階子式全為0
                                                                              —→挑選A的一個含有參數的二階子式，令其為0得方程。
      解方程求得參數。

      3.  矩陣A能與對角陣相似的初步應用
            一個矩陣 A 能與對角陣相似，有什么好？隨便說幾條。
   （1）矩陣 A 與對角陣Λ 相似，且秩r (A) = r ，則顯然 λ= 0 是 A 的 n - r 重特征值。
   （潛臺詞：相似矩陣有相同的特征值。特征值看對角陣。
   （2）矩陣 A 與對角陣Λ 相似，且秩r (A) = r ≠ 0 ，則 A的k次方與 Λ的k次方相似。所以，A的k次方矩陣的秩也為 r ，換句話說，A 一定不是“冪零陣”。
      （3）A 的 k次方難解。如果矩陣 A 能與對角陣相似，我們可以求出它的n個特征值，及相應的n 個線性無關的特征向量，再排出關聯矩陣P和對角陣Λ，由定義式  Pˉ1（A的k次方）P  = Λ的k次方 ,就能反解出（A的k次方）。
      這是一類出現頻率較高的大分值考研試題。
   （4）矩陣 A 能與對角陣相似，則 A 有 n 個線性無關的特征向量。把它們選為n維向量空間的（坐標）基，會給應用帶來很大的方便。
            ---------------------------    ……    -------------------------
            啊！大學數學《線性代數》的理論精髓就集中體現在這兒了。理解一遍，就是一次實實在在的總復習。坡度較高，但是路徑簡明單一。

   （49）錦上添花對稱陣

            一般的方陣可能有復的特征值，這會給我們帶來額外的困難。
     1.對稱陣A的特征值與特征向量
            對稱陣A的特征值與特征向量有與眾不同的3個特點。
   （1）對稱陣A 的 n 個特征值一定都是實數。
   （2）對稱陣A 如果有重特征值，則每個 k重特征值所擁有的特征向量集的秩一定等于重數 k  。即每個重特征值都不會虧損。
   （3）對稱陣A 的屬于不同特征值的特征向量正交。
      有了（1）和（2），就已經保證了，每一個對稱陣都能與對角陣相似。且相關的計算，無論是計算特征值還是計算特征向量，都能保持在實數范圍內進行。
      這樣一來，非零的對稱陣A 一定不是冪零陣。  且一定有（A的k次方）的秩 = A的秩
       n 維向量空間的標準正交基 ——
            特點（3）錦上添花。如果對稱陣A 有 n個單特征。那么，相應的 n 個線性無關的特征向量天然地兩兩正交。只需逐個單位化，就能得到 n 個特征向量的標準正交組。
      如果對稱陣A 有重特征，可以運用斯密特正交化方法，先將每個重特征所擁有的特征向量集最大無關組標準正交化，近而合并得n個特征向量的標準正交組。
      *這是 n 維向量空間的標準正交基，就象三維空間的坐標基 i ，j ，k

            2.正交陣與*對稱陣A的“譜分解”
            定義（正交陣） —— 列（或行）向量組是標準正交組的方陣稱為正交陣。
      由定義可以直接驗算：
      結論1. 矩陣 A 是正交陣的充分必要條件是， Aˉ1 =  Aˊ
   （潛臺詞：別忘了矩陣乘法的基點是“左行右列作內積”。由定義與“標準正交”性，顯然 AˊA = E ）
      結論2. A 是正交陣 —→ | A| = ±1
            結論3.    只有兩類正交陣。或 a ij = A i j   或  a ij = -A i j    實際上， A* = | A|?Aˉ1 ，從而  A* = ±Aˊ，聯想 A* 的組成方式就自然知結論對。
   （畫外音：“結論2”是個很有趣的構造結論。如果你用n個標準正交的列向量排成一個正交陣。利用結論2可以驗算，正交陣的行向量組自然也是標準正交組。）

   典型計算 ——
         （1）已知對稱陣A 或 A 的特征值，求正交陣 P ，使得  Pˉ1A P = Λ 即  PˊA P = Λ
         實際工作量只不過是求 A 的特征值，特征向量，標準正交化，排出正交陣 P
         最重要的是，“求正交變換 P ，把二次型化為標準型”的計算也就全都在這里了。
   （ 2）已知對稱陣A 的特征值及特征向量，用公式 A = PΛPˉ1 ，即  A = PΛPˊ  反求矩陣A

         對稱陣A的“譜分解”——
         把 P 寫為列分塊形式，P =（ξ1，ξ2，------，ξn），則 Pˊ自然為行分塊形式，其第i 行為 ξi ˊ 且
            PΛ=（λ1ξ1，λ2ξ2，------，λnξn）（潛臺詞：左乘在行，右乘在列。）
進而          A = PΛPˊ=λ1ξ1ξ1ˊ+λ2ξ2ξ2ˊ+ …… +λnξnξnˊ
這樣一來，對稱陣A在理論上被表示成為n個秩為1的矩陣的線性組合。表達式稱為對稱陣A的譜分解。
   （潛臺詞：宏觀可乘，（1×n）（ n×n ）（n×1）=（1×1）
         微觀可乘，比如 ξ1ξ1ˊ，（n×1）（1×n）=（ n×n ）
         愉快的矩陣乘法：“左行右列作內積，對應分量積相加。左列右行得矩陣，矩陣的秩不超1 。”）

      例79 對稱陣A主對角線上元素之和，等于它的n個特征值的和。
         分析    A = PΛPˊ=λ1ξ1ξ1ˊ+λ2ξ2ξ2ˊ+ …… +λnξnξnˊ
               顯然，矩陣ξ1ξ1ˊ的主對角線上元素之和為1，故λ1ξ1ξ1ˊ主對角線上元素之和為λ1 ，
      同理，λ2ξ2ξ2ˊ主對角線上元素之和為λ2 ，λnξnξnˊ主對角線上元素之和為λn
               n 項相加即有本題結論。
      例80 設三階實對稱陣的A秩為2，λ= 6是A的二重特征值，若ξ1=（1，1，0）ˊ，ξ2 =（2，1，1）ˊ，ξ3 =（-1，2，-3）ˊ都是A的屬于λ= 6的特征向量
      （1）求A的另一特征值和對應的特征向量  （2）求矩陣A
               分析因為A的秩為2，所以A有單特征0
               對稱陣A的二重特征值λ= 6相應的特征向量集秩為2，顯然ξ1與ξ2線性無關，可以選為其最大無關組。
      設屬于單特征0的特征向量為（x，y，z），它與ξ1及ξ2都正交。利用正交性得出兩個方程，可解得
ξ3 =（-1，1，1）ˊ，進而得特征向量標準正交組
            （1/√2，1/√2，0）ˊ ，（2/√6，1/√6，1/√6）ˊ ，（-1/√3，1/√3，1/√3）ˊ
      A有單特征0，用“譜分解”方法算
                     （3 3 0）             （4 2 2）    （7  5  2 ）
         6ξ1ξ1ˊ= （3 3 0） 6ξ2ξ2ˊ=（2 1 1） A =（5  4  1 ）
                     （0 0 0）                （2 1 1）    （2  1  1 ）
      高分值題，算錯可惜。一定要認真算好兩三個這樣的題。

      3.  方陣的合同關系
      定義 —— 如果存在滿秩矩陣P ，使得 A = PˊBP ，就稱方陣 A 與 B 合同。
      對于對稱陣A，我們選擇它的n個特征向量標準正交組來排成關聯矩陣P，即P是正交陣。那么，
                  Pˉ1AP = Λ（A的n個特征值排成的對角陣）  即  PˊAP = Λ
            這就是說，每一個對稱陣A ，與它的n個特征值所排成的對角陣Λ既相似又合同。
      盡管考研大綱要求“合同關系”。但教材內容很少。這一條特別要記熟。

      請對比 —— 矩陣A 和B “等價”，矩陣A 和B “相似”，矩陣A 和B “合同”：
      矩陣A 和B等價的充分必要條件是，存在滿秩方陣J、Q，使得  JAQ  = B
               矩陣A 和B相似的充分必要條件是，存在滿秩方陣P，使得  Pˉ1AP = B
               矩陣A 和B合同的充分必要條件是，存在滿秩方陣Q，使得  QˊA Q = B
顯然，相似或合同的矩陣都等價。

      線性運算在對稱陣集合中是封閉的。而矩陣乘法在這里不封閉。即“對稱陣的乘積不一定是對稱陣。”其原因在于矩陣乘法不可易。
      我在這里說的，比一般教材要多些。愿你能更全面地了解對稱陣。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-6-8 22:19 編輯 ]

wubingwinner · 發(fā)表于 2010-6-8 14:45

老師辛苦啦謝謝啦

huweiaching · 發(fā)表于 2010-6-8 17:12

向樓主提一個問題.困擾我好久.就是關于對稱陣求其對角化,明明可以直接運用對相似對角化的方法來解決.為什么要求正交陣來解決呢?望賜教,感謝

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-6-8 22:06

錦上添花別樣紅, 道路條條選最佳.

"佳"在何處,最低限度可以在應用中用 Pˊ而不去計算 Pˉ1
往高處看, 理論上請體會, " 對稱陣A的“譜分解”" ,
請體會，"“求正交變換 P ，把二次型化為標準型”的計算也就全都在這里了。"

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-6-8 22:08 編輯 ]

songkan123 · 發(fā)表于 2010-6-8 23:22

感謝戰(zhàn)地老師，您老都這么大年齡了，為了我們考研的，每天幾個小時的發(fā)帖，真的很感動呀！[em:15]

huweiaching · 發(fā)表于 2010-6-10 10:00

老師的意思是說,我們求正交陣的目的是為了簡化計算,不用去計算P的逆矩陣,直接用轉置嗎?學生愚頓,麻煩老師能多講解下,謝謝

liudany · 發(fā)表于 2010-6-15 10:57

謝謝老師！！

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-6-15 21:12

是的.最低最低限度的好處. (結論1. 矩陣 P 是正交陣的充分必要條件是， Pˉ1 = Pˊ)
P 是正交陣,則 PˊAP = Λ 與 Pˉ1AP = Λ 是一回事.

bj270278245 · 發(fā)表于 2010-6-16 13:29

絕對的好帖！

linyan88840203 · 發(fā)表于 2011-1-7 10:52

真棒

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