有意思（9）一個(gè)極限題的多向思考

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-6-12 11:43

已知函數(shù) f（x）滿足  f（0）= 0 ，fˊ（0）= 0 ，f ″（0）> 0
               x→0 時(shí)，求極限 lim  f（x）/ x fˊ（x）= ？
      思考1，中心點(diǎn)處有這么豐富的信息，趕快用泰勒公式試試
            f（x）=（f ″(0) /2）x 2 + ο（x 2）
            f ′(x)  =  f ″(0) x + ο（x）    （潛臺(tái)詞：逐階運(yùn)用已知信息，基本技術(shù)。）
            原極限 = lim（（f ″(0) /2）x 2 + ο（x 2））/ （ f ″(0) x 2 + ο（x 2））
分子分母同除以 x 2 ，（類型參看講座（15）。）可算得原極限 = 1/2

            思考2，通常用洛必達(dá)法則對(duì)付抽象函數(shù)的極限，要先考查導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性。
      本題中，有三個(gè)思考點(diǎn)
      “ f ″（0）存在”，隱含 f ′(x) 在原點(diǎn)鄰近存在，且 f ′(x) 在0點(diǎn)連續(xù)，可以用一次洛必達(dá)法則。
         一眼晃去，如果用一次洛必達(dá)法則，分母變兩項(xiàng)，分子還是1項(xiàng)，故可以考慮倒過(guò)來(lái)求。
         用一次洛必達(dá)法則后，將出現(xiàn) f ″(x) ，無(wú)法計(jì)算下去。
      （畫(huà)外音：用洛必達(dá)法則的念頭快，還是用中值定理，泰勒公式的念頭快，這是水平的標(biāo)志之一。）

      思考3，條件很強(qiáng)的“雙特殊情形”啊，能否用導(dǎo)數(shù)定義？
         原極限 = lim （f（x）/x）/ fˊ（x），不行！非零的因式才能先取極限。何況分母還是0極限。
         如果分子分母再同除以 x ，那分母就可以對(duì) fˊ（x）在0 點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)定義。分子又怎么辦呢？
         這時(shí)，“分子”為  f（x）/x 2，用一次洛必達(dá)法則后，與分母一樣處理就行了。

         請(qǐng)比較。泰勒公式最深刻，過(guò)程最簡(jiǎn)潔。
         在清晰的基本概念，基本理論，基本方法狀態(tài)下思考。這是提高的關(guān)鍵。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-6-12 12:10 編輯 ]

皮哥來(lái)考研 · 發(fā)表于 2010-6-12 12:17

請(qǐng)樓上的同學(xué)用數(shù)學(xué)編輯器，否則看起來(lái)很麻煩，你問(wèn)的問(wèn)題我都看不清楚，很難給你回答啊

為夢(mèng)行 · 發(fā)表于 2010-6-13 01:49

好貼！！！！！！！！！！！！

有無(wú)之境 · 發(fā)表于 2010-6-13 17:42

果然精彩，基礎(chǔ)才是王道，樓主威武！

風(fēng)舞二戒 · 發(fā)表于 2010-11-13 08:56

分析精彩，LZ我初來(lái)乍到，發(fā)現(xiàn)您十分威武啊，好多研友的題都是你講的，佩服之至！！

斷水云殤 · 發(fā)表于 2010-11-13 10:33

很是一個(gè)強(qiáng)。唉…

slyvia妍 · 發(fā)表于 2011-3-25 16:10

謝謝老師！學(xué)習(xí)了！

fyy428 · 發(fā)表于 2011-3-25 19:46

f ′(x) = f ″(0) x + ο（x）（潛臺(tái)詞：逐階運(yùn)用已知信息，基本技術(shù)。）

這一步太精妙了

還有這句話真是點(diǎn)睛之筆非零的因式才能先取極限

hungry。 · 發(fā)表于 2011-3-26 22:10

講得好受教了

劍雨々飄香 · 發(fā)表于 2011-3-26 23:09

為什么非0的因式才能取極限，能證明下嗎？謝謝啦

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有意思（9）一個(gè)極限題的多向思考

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