有意思（14）積分越積越頹喪，求導(dǎo)越算越亮堂

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-10-9 21:36

      微分積分說起來一對高級運算，實際上背景與實質(zhì)都相去甚遠。
         一元微積分通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，討論函數(shù)以估計積分。
         一元微積分講究條件分析。連續(xù)否，可導(dǎo)否，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)（函）數(shù)的左，右極限，導(dǎo)函數(shù)天然滿足介值定理，……，怎樣判定導(dǎo)數(shù)符號，什么樣的可導(dǎo)條件下用什么樣的中值定理，給函數(shù)一個新的表達方式，為自己架好“過河的橋”，……。一切都明明白白時，你就可以“笑傲江湖”。
         多元微積分講究處置方案。如何把復(fù)雜的高維積分計算，通過微元分析，運用多種坐標方式轉(zhuǎn)化為逐次定積分。
         由此可見，可導(dǎo)性討論與導(dǎo)數(shù)計算是第一基礎(chǔ)，定積分是第二基礎(chǔ)，積分方法只是個過度章節(jié)。
         導(dǎo)數(shù)定義作用于基本初等函數(shù)，生成一套有序的求導(dǎo)公式。伴隨著初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)順序，《高等數(shù)學(xué)》建立了“和，差，積，商函數(shù)求導(dǎo)法則”與處理復(fù)合函數(shù)的“鏈鎖法則”。進而還有“取對數(shù)求導(dǎo)法”，“隱函數(shù)求導(dǎo)法”，……。一切函數(shù)皆可討論求導(dǎo)，計算導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)討論與計算嫻熟，心有靈兮一點通，你討論函數(shù)，估計積分，解微分方程，……，必定是處處反應(yīng)特好。“橫掃千軍如卷席。”
                  積分沒有自己的公式，完全靠求導(dǎo)公式逆反，得到幾個不成順序的積分公式。即便是lnx ，arctgx這樣的基本初等函數(shù)，你也不能一口說出它的原函數(shù)。梢為復(fù)雜一點的函數(shù)，往往就無法積分。歷史上的積分資料浩如煙海。基本是一把鑰匙開一把鎖。比如
“任意二次三項式的二次根式” 求積，有一套歐拉變換，而大學(xué)數(shù)學(xué)只講了最特殊的“用三角變換，去掉兩項平方差的二次根式的根號”。
學(xué)生只學(xué)了一點點知識，全然不知背景，不明深淺。積分越積越頹喪，白費時間無收獲。細細想來，你不會復(fù)雜的積分有什么關(guān)系呢？？？！！！只要基本積分方法會，絲毫不影響你學(xué)習(xí)積分應(yīng)用及多元微積分。查一查以往的考研試題，數(shù)學(xué)一，三，四都很少有單一的定積分題。就是牽涉到積分方法的綜合題，大多數(shù)都聚焦于分部積分。
         最沒有意思的是討論什么“可積性問題”。在黎曼積分的范圍內(nèi)，根本得不到“可積”的充分必要條件。知道并能證明“有第一類間斷點的函數(shù)，在含此間斷點的區(qū)間上不存在原函數(shù)。”這一結(jié)論就很不錯了。就算是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，也不會去搞這樣的問題。高等微積分中，“一致連續(xù)”，“一致收斂”的判斷與討論，那才是必考的精華。
光陰似箭，時間飛逝。過度章節(jié)會基本。作題多想知識含金量。爭取一定的付出確有收獲。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-10-9 22:12 編輯 ]

scl1989 · 發(fā)表于 2010-10-9 21:59

頂老師

cry505002 · 發(fā)表于 2010-10-9 22:06

先占位！再看！
LZ是個好老師！

amaogg · 發(fā)表于 2010-10-9 23:10

有意思

cessilia · 發(fā)表于 2010-10-10 01:42

謝謝老師

落寞中前行 · 發(fā)表于 2010-10-10 10:34

頂老師了

sdc2010 · 發(fā)表于 2010-10-10 10:54

頂，不定積分的技巧性太強了，浪費時間

lncherry · 發(fā)表于 2010-10-11 11:45

[em:42] 見解獨到

kanzo · 發(fā)表于 2010-10-11 12:10

不懂

小凡的摯愛 · 發(fā)表于 2010-10-11 16:48

可積與原函數(shù)存在好像是兩個概念。有第一類間斷點說明原函數(shù)不存在，可積是指定積分存在吧！

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