有意思(17) 矩陣的秩與向量組的秩一致

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2011-4-17 20:42

本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2011-4-17 21:05 編輯

矩陣的“秩”，是線(xiàn)性代數(shù)第一部分的核心概念。

“矩陣的秩與向量組的秩一致。矩陣的秩就是其行（或列）向量組的秩。”怎樣證明？就當(dāng)做習(xí)題練一練。

設(shè)矩陣A的秩為 r ，則A必有一個(gè) r 階子式不為0，而所有 r + 1階子式全為 0

邏輯1—— r 階子式不為0，則 r個(gè) r 維向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

分析這是格萊姆法則推論，帶來(lái)的直接判別方法。

（畫(huà)外音：r個(gè)未知量 r個(gè)方程的齊次線(xiàn)性方程組僅有0 解的充分必要條件是其系數(shù)行列式不為0）

邏輯思維鏈 —— 這 r 個(gè) r 維向量與 A 的行（或列）向量組有何關(guān)系？

邏輯2——（“線(xiàn)性無(wú)關(guān)，延長(zhǎng)無(wú)關(guān)。”定理）——

已知一個(gè) n 維向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，如果在相同的位置，給組內(nèi)每個(gè)向量都增加一個(gè)分量，則所得的 n + 1維向量組也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

分析不妨認(rèn)為給線(xiàn)性無(wú)關(guān)的 n 維向量組 a1，a 2，…，a k 的每個(gè)向量都加上第 n + 1個(gè)分量，形成一個(gè)n + 1 維向量組 b1，b 2，…，b k

若有一組不全為零的數(shù) c1，c2，…，c k ，使得 c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0
，如何證明“這組常數(shù)只能全為0”？

每個(gè)向量有 n + 1 分量，向量“線(xiàn)性組合為0”實(shí)際上是 n + 1個(gè)等式。前 n 個(gè)等式即

c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0

由已知線(xiàn)性無(wú)關(guān)即得，這組常數(shù)只能全為0，而最后那個(gè)（第n + 1個(gè)）等式自然成立。

邏輯3 ——將線(xiàn)性無(wú)關(guān)的 r個(gè) r 維向量，逐次延長(zhǎng)為矩陣A 的 r個(gè)行向量（或列向量），它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

（潛臺(tái)詞：簡(jiǎn)而言之，不為0的r階子式所在的r個(gè)行向量（或列向量）線(xiàn)性無(wú)關(guān)。）

邏輯思維鏈（關(guān)鍵問(wèn)題）——這 r 個(gè)行向量是行向量組的最大無(wú)關(guān)組嗎？

唯一信息——A的所有r + 1階子式全為0

分析不妨設(shè)不為0 的r 階子式就由這 r 個(gè)行的左起前 r 個(gè)分量排成。（畫(huà)外音：畫(huà)個(gè)示意圖最好。）

任取A的一行，其左起前 r個(gè)分量形成的 r 維向量，必定可以被 r 階子式的 r 個(gè)行線(xiàn)性表示。
記為 β = c1a1+ c2 a2 + ---+ c r a r

把式中各個(gè)向量，增加入第r+ 1個(gè)分量，這個(gè)表達(dá)式還成立嗎？

（潛臺(tái)詞：增加入第 r+ 1個(gè)分量，討論的背景是A的一個(gè) r + 1階子式。 r + 1 階子式為 0，則

r + 1個(gè) r + 1維向量線(xiàn)性相關(guān)。β 所在的那行，可以被另 r 行線(xiàn)性表示。問(wèn)題就在于，和增加一個(gè)分量之前對(duì)比，線(xiàn)性表示的“系數(shù)變還是沒(méi)變”。）

實(shí)際上，這 r+ 1個(gè) r+ 1維向量排成 A 的r + 1階子式。是那個(gè)不為 0 的 r 階子式的“加邊行列式”。其值為0 （畫(huà)外音：繼續(xù)畫(huà)示意圖。）

對(duì)這個(gè) r + 1階子式作試算變形，設(shè)法利用 r 維向量 β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r

把第一行乘以 ? c1 ，第二行乘以 ?c2 ，……，第r行乘以 ? c r ，全都加到第r+ 1行。則第 r+ 1行的前 r 個(gè)分量都變?yōu)?/font>0，設(shè)此時(shí)第 r+ 1行的第 r+ 1個(gè)分量為c ，

按第r + 1行來(lái)展開(kāi) r + 1 階子式得方程： (左上r 階子式）c = 0，只有c = 0

這就表明，增加入第 r+ 1個(gè)分量， β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r 對(duì)r+1維向量還是成立。

添加的第 r+ 1列，自然可以隨意換為第 r+ 2個(gè)分量那列，或第 r+3個(gè)分量那列，……，討論過(guò)程與結(jié)論都一樣。即，線(xiàn)性組合關(guān)系存在，組合系數(shù)始終不變。

這樣一來(lái)，A的任意一行，都能被 r 階子式所在的 r個(gè)行線(xiàn)性表示。A的秩就是其行（或列）向量組的秩。

矩陣的秩與向量組的秩一致。求向量組的秩，排成一個(gè)矩陣，作初等變換求矩陣的秩。

想通了。有意思，很愉快。你對(duì)向量線(xiàn)性相關(guān)的定義式，是否理解得更細(xì)了。

微笑的左北 · 發(fā)表于 2011-4-17 23:21

占個(gè)沙發(fā)慢慢看，老師講得挺好的啊！

likanwa · 發(fā)表于 2011-4-18 09:04

還沒(méi)復(fù)習(xí)到啊，留著以后慢慢看吧…

漫射 · 發(fā)表于 2011-4-18 09:40

矩陣可以分為行向量組或列向量組，從而矩陣的秩轉(zhuǎn)化為向量組的秩。

飛秋 · 發(fā)表于 2011-4-20 22:11

留下了，看完高數(shù)來(lái)看。謝謝老師

GavinGoGo · 發(fā)表于 2011-4-21 12:33

必須頂啊~~~數(shù)學(xué)我的心病啊~~希望我認(rèn)真搞了能有好結(jié)果啊~~阿門(mén)~~~

檸檬草沙漠雨 · 發(fā)表于 2012-8-16 22:19

老師分析的果然厲害，頂起

long901006xu · 發(fā)表于 2012-8-16 22:39

看過(guò)啦

激勵(lì)吉利VIP · 發(fā)表于 2012-8-17 10:12

不好想，不看了

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