本帖最后由 戰地黃花 于 2011-5-18 21:44 編輯
矩陣集合上定義了乘法。以向量內積為基礎的矩陣乘法非常成功。但它是不可交換的。即，通常有 AB ≠ BA，那怕在 n 階方陣子集中也這樣。 矩陣的乘法有“單位元”E（n階方陣）。即在可乘的條件下，AE = A 或 BE = B，E在乘法中的作用，就象數 1那樣。 若n 階方陣A滿秩，它就應該有逆元。即“右逆”AB = E 或“左逆”CA = E 由于矩陣乘法不可易，按理“右逆”與“左逆”可能不同。但是《線性代數》中，滿秩方陣A的逆陣B 的定義就是 AB = BA = E 之所以有這個特殊性，原因在于A有伴隨陣A* 基本恒等式 A*A = A A* =|A| E 在A滿秩時，它告訴我們，A* /|A| 就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩陣相等的定義，滿秩方陣A的逆陣唯一。 有趣的是，如果n 階方陣A 的“列向量組”是標準正交組（單位正交組），則A′A = E 你只能先說A′ 是A的“左逆”。 A′ 的行，就是A的列。左行右列作內積，恰好用上已知條件。但是，逆陣唯一，“左逆”就是“右逆”。A A′ = E 這樣一來，A的行向量組必定也是標準正交組。 同樣，如果 n 階方陣 A 的“行向量組”是標準正交組，那它的列向量組必定也是標準正交組。 實際上，很簡單，A A′ = E，則 |A|=±1 滿秩方陣A的的逆陣唯一，A′ = ±A* 只有兩類正交陣 —— 要么A的每一元就等于自己的代數余子式，要么A的每一元等于自己的代數余子式的相反數。 另有一個應用逆陣唯一性的好例。 例 A和B都是n階方陣，且 AB =A?B，試證明，A+E 可逆，且 AB = BA 分析 要先生成 A+ E ，只有在 AB =A?B 上想辦法。 AB+B = A+E?E ，進而有 E =（A+E）（E?B） 這表明 A+ E可逆， 且它的（右逆）為 E?B 如何證第二問？好象沒條件了。如果你能想到，右逆就是左逆。那就動筆試乘一下 （E?B）（A+E）= E =（A+E）（E?B）整理后恰好有 AB = BA 真妙啊，研考題會不會這樣做文章呢？！ | 
發表于 2011-5-18 21:38
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