有意思（22）流行資料上的一個(gè)錯(cuò)題的認(rèn)識(shí)深化

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2011-12-22 19:54

某流行資料上有一個(gè)錯(cuò)題，“已知φ′（x）+ φ（x）>0，試確定φ（x）sin x在（0，π/2）的苻號(hào)”。

學(xué)生問這個(gè)題的時(shí)候，匆忙中感到要用指數(shù)函數(shù)做積分因子來處理。后來作定向思維，心里總覺得怪怪的，這題為啥沒有初始信息。

左想右想不得解，隨手翻翻解答，竟然寫了半頁。心存疑惑也沒細(xì)看。

φ′（x）+ φ（x）> 0表達(dá)了增長(zhǎng)率與函數(shù)值的符號(hào)關(guān)系。

就算增長(zhǎng)率恒為正，函數(shù)值也可正可負(fù)，φ（x）sin x怎么能定號(hào)呢？

單調(diào)性討論連續(xù)函數(shù)的符號(hào)，導(dǎo)數(shù)定號(hào)配合初始信息或終端信息，缺一不可。就算增長(zhǎng)率很大，比如中國(guó)經(jīng)濟(jì)年增長(zhǎng)率10%，美國(guó)2%，但兩者初始經(jīng)濟(jì)量差別很大，你不能說中國(guó)經(jīng)濟(jì)量就大于美國(guó)經(jīng)濟(jì)量。

由于指數(shù)函數(shù)exp（x）恒正，故若 φ′（x）+ φ（x）> 0 則

exp（x）（φ′（x）+ φ（x））> 0 ，即（φ（x）exp（x））′ > 0

如果有初始信息φ（0）≥ 0 ，則有 φ（x）> 0，從而φ（x）sin x在（0，π/2）為正。

如果φ（0）< 0呢？是否可能有φ（0）< 0，我又想到了指數(shù)函數(shù)exp（x）

假如取 φ（x）= —exp（—2x），則φ′（x）= 2exp（—2x），且 φ′（x）+ φ（x）> 0

這時(shí)就有，φ（x）< 0 ，從而φ（x）sin x在（0，π/2）為負(fù)。

再去翻資料上的解答，一下就看到了錯(cuò)處。

liuxin1426 · 發(fā)表于 2011-12-22 19:58

每日一頂！

范凡奇 · 發(fā)表于 2012-2-7 11:24

動(dòng)手算了算，思路和老師基本一樣。我是從結(jié)果假定符號(hào)是正、負(fù)，分別舉例子，向已知式子推算。但不是用指數(shù)函數(shù)，而是二次函數(shù)來算，想著簡(jiǎn)單。還是漏掉了可以已知為正，答案為負(fù)的第二種情況。這次記住了…謝謝啦！{:soso_e189:}

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