有意思（4）右導數與導函數的右極限

戰地黃花

    （每段是初等函數的）分段函數求導，分界點處用定義計算，各段用法則與公式。老老實實地記與做，既簡明又少犯錯誤。
     當然，你可以懂得更細一點。
     可導一定連續。不連續必然不可導。連續是討論可導性的前提。     函數在點 a 可導的充分必要條件是左右導數存在且相等。
     在定義分界點 a 的一側，比如右則。可以用定義求得右導數。同時，在右側這一段內，你用法則與公式求出了導函數。自然就會產生一個想法，能否以此求極限得到點 a 的導數。這是錘煉知識及思維細密性的好時機。

     1   如果求極限，是求導函數在點a的右極限。這個右極限存在嗎？

     2   按照定義求右導數。“右導數”與“導函數在點 a 的右極限”是兩回事。

     3   如果這個右極限存在，它和“右導數”相等嗎？

     用拉格郎日公式可以證明，“如果導函數在點 a 的右極限存在，則函數在點 a 的右導數一定存在，且兩者相等。”（一個好練習題！）
     左側可以類似討論。
      結論：驗證了分段函數在分界點 a 連續后 ，在兩邊區間內各自求導。令 x 趨于 a  ，分別求導函數的極限。若兩者相等，它就是函數在點 a 的導數。若兩者不等，函數在點a不可導。
     前題很清晰，這樣處理也可以。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-5-6 21:11 編輯 ]

戰地黃花

kcufgl 發表于 2012-6-25 15:49
老師，學生愚鈍，請老師解釋一下：
1，為什么’’導函數在定義區間內不會有第一類間斷，但可能有第二類間 ...

(1)記住前提:函數在點a的某去心鄰域內可導，（相應有導函數。）如何討論它在點a的可導性。這與函數抽象不抽象沒關系。（2）用定義討論最好。 （3）可以考慮，先驗證了函數在分界點處連續!!!后 (潛臺詞:有時候,這個工作量也不小.)          "如果（分段）函數在（分界）點a處連續,且兩側的導函數極限存在且相等，則函數在（分界）點a可導.導數就是極限值.這時,導函數在（分界）點連續."         (4)"導函數在點a一定連續."是此時的客觀存在事實.         (5).要把問題徹底弄懂,必須自己練習一遍.我把過程提示如下:             驗證了函數在分界點處連續后,寫出右導數定義式        對右導數定義式中的增量商運用拉格朗日公式                 求極限思考結果

Scorpioの棄

a7878370 發表于 2012-7-21 21:49
要求的前提是在x0連續 所以是閉區間 可以用拉格朗日 至于第二個問題 用極限唯一性理解 ...

第二個問題x是多少啊，我感覺用極限唯一性說明不了什么，它的區間最后趨近與一個點

Scorpioの棄

老師 我問下  x在（x1，x2）區間內，當x1→x2時，x=？？？

戰地黃花

kcufgl 發表于 2012-6-25 05:45
萬一分段點兩邊是抽象函數(前面括號里的條件：每段是初等函數是必不可少的吧？為什么加括號啊，加括號意思 ...

      為什么要加括號？這是因為大學數學學習范圍內，《高等數學》的內容就約定這樣。
      實際上，還是“各段用公式，分界點用定義算”最好。簡明易掌握。
      還可能有這樣的情況——
      導函數在定義區間內不會有第一類間斷，但可能有第二類間斷。這就是說，你辛辛苦苦求導函數的左，右極限，最終判定不存在，你卻不能由此斷言函數在中心點不可導。還得回頭用定義算。這就虧大了。{:soso_e109:}{:soso_e112:}

記的飯

{:soso_e113:}

snapeliu0718

“如果導函數在點 a 的右極限存在，則函數在點 a 的右導數一定存在，且兩者相等。”
這句話，我想到用極限定義和導數定義不用拉格朗日也可以證明
其中，證明過程中重要條件就是 此分段函數在分界點a處連續
所以，“”先驗證了函數在分界點處連續!!!”很重要啊，是前提條件

snapeliu0718

啊 哈  我是來扒舊帖學習的 {:soso_e128:}  受教了

maoda_1986

老師威武~

戰地黃花

對，要么直接用定義考查，要么先考查連續性，……。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-10-7 09:09 編輯 ]