有意思（4）右導數與導函數的右極限

戰地黃花 · 發表于 2010-5-3 20:17

（每段是初等函數的）分段函數求導，分界點處用定義計算，各段用法則與公式。老老實實地記與做，既簡明又少犯錯誤。
   當然，你可以懂得更細一點。
   可導一定連續。不連續必然不可導。連續是討論可導性的前提。    函數在點 a 可導的充分必要條件是左右導數存在且相等。
   在定義分界點 a 的一側，比如右則。可以用定義求得右導數。同時，在右側這一段內，你用法則與公式求出了導函數。自然就會產生一個想法，能否以此求極限得到點 a 的導數。這是錘煉知識及思維細密性的好時機。

   1 如果求極限，是求導函數在點a的右極限。這個右極限存在嗎？

   2 按照定義求右導數。“右導數”與“導函數在點 a 的右極限”是兩回事。

   3 如果這個右極限存在，它和“右導數”相等嗎？

   用拉格郎日公式可以證明，“如果導函數在點 a 的右極限存在，則函數在點 a 的右導數一定存在，且兩者相等。”（一個好練習題！）
   左側可以類似討論。
   結論：驗證了分段函數在分界點 a 連續后，在兩邊區間內各自求導。令 x 趨于 a  ，分別求導函數的極限。若兩者相等，它就是函數在點 a 的導數。若兩者不等，函數在點a不可導。
   前題很清晰，這樣處理也可以。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-5-6 21:11 編輯 ]

chonini · 發表于 2010-5-3 20:37

單側極限存在，單側導數一定存在；極限不存在，導數可能存在。。。
戰地老師，我有個問題，是不是說如果導函數趨于點a的雙側極限存在且相等，則函數在點a一定可導！而且導函數在此點a一定連續？？
老師能不能講得再仔細點，還有，怎么判斷導函數的連續呢？？[em:18]

戰地黃花 · 發表于 2010-5-4 07:51

(1)記住前提:先驗證了函數在分界點處連續!!!!!!!!!!!
(潛臺詞:有時候,這個工作量也不小.)
(2)在此前提下,你的理解正確.即
"如果導函數趨于點a的雙側極限存在且相等，則函數在點a一定可導.而且導函數在點a一定連續."
      最好是完整地說:
      "如果分段函數在分界點處連續,且兩側的導函數極限存在且相等，則函數在分界點可導.導數就是極限值.這時,導函數在分界點連續."
      (3)"導函數在點a一定連續."是此時的客觀存在事實.
      (4).要把問題徹底弄懂,必須自己練習一遍.我把過程提示如下:
         驗證了函數在分界點處連續后,寫出右導數定義式
   對右導數定義式中的增量商運用拉格朗日公式
      求極限思考結果

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-5-4 08:00 編輯 ]

chonini · 發表于 2010-5-4 09:48

http://www.0313v.com/viewthread ... ;page=1#pid30897194
這個也挺有意思，能幫看看嘛？

戰地黃花 · 發表于 2010-5-6 21:10

與有意思(5)配合看

sdc2010 · 發表于 2010-10-6 16:00

老師，所有分段函數的在間斷點的導數都可以用兩種方法了對吧？大不了就是不存在

戰地黃花 · 發表于 2010-10-7 08:20

對，要么直接用定義考查，要么先考查連續性，……。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-10-7 09:09 編輯 ]

maoda_1986 · 發表于 2010-10-7 09:44

老師威武~

snapeliu0718 · 發表于 2012-2-1 00:31

啊哈我是來扒舊帖學習的 {:soso_e128:} 受教了

snapeliu0718 · 發表于 2012-2-1 00:47

“如果導函數在點 a 的右極限存在，則函數在點 a 的右導數一定存在，且兩者相等。”
這句話，我想到用極限定義和導數定義不用拉格朗日也可以證明
其中，證明過程中重要條件就是此分段函數在分界點a處連續
所以，“”先驗證了函數在分界點處連續!!!”很重要啊，是前提條件

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