有意思（4）右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限

戰(zhàn)地黃花

    （每段是初等函數(shù)的）分段函數(shù)求導(dǎo)，分界點處用定義計算，各段用法則與公式。老老實實地記與做，既簡明又少犯錯誤。
     當(dāng)然，你可以懂得更細一點。
     可導(dǎo)一定連續(xù)。不連續(xù)必然不可導(dǎo)。連續(xù)是討論可導(dǎo)性的前提。     函數(shù)在點 a 可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。
     在定義分界點 a 的一側(cè)，比如右則。可以用定義求得右導(dǎo)數(shù)。同時，在右側(cè)這一段內(nèi)，你用法則與公式求出了導(dǎo)函數(shù)。自然就會產(chǎn)生一個想法，能否以此求極限得到點 a 的導(dǎo)數(shù)。這是錘煉知識及思維細密性的好時機。

     1   如果求極限，是求導(dǎo)函數(shù)在點a的右極限。這個右極限存在嗎？

     2   按照定義求右導(dǎo)數(shù)。“右導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)函數(shù)在點 a 的右極限”是兩回事。

     3   如果這個右極限存在，它和“右導(dǎo)數(shù)”相等嗎？

     用拉格郎日公式可以證明，“如果導(dǎo)函數(shù)在點 a 的右極限存在，則函數(shù)在點 a 的右導(dǎo)數(shù)一定存在，且兩者相等。”（一個好練習(xí)題！）
     左側(cè)可以類似討論。
      結(jié)論：驗證了分段函數(shù)在分界點 a 連續(xù)后 ，在兩邊區(qū)間內(nèi)各自求導(dǎo)。令 x 趨于 a  ，分別求導(dǎo)函數(shù)的極限。若兩者相等，它就是函數(shù)在點 a 的導(dǎo)數(shù)。若兩者不等，函數(shù)在點a不可導(dǎo)。
     前題很清晰，這樣處理也可以。

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-5-6 21:11 編輯 ]

chonini

單側(cè)極限存在，單側(cè)導(dǎo)數(shù)一定存在；極限不存在，導(dǎo)數(shù)可能存在。。。
戰(zhàn)地老師，我有個問題，是不是說如果導(dǎo)函數(shù)趨于點a的雙側(cè)極限存在且相等，則函數(shù)在點a一定可導(dǎo)！而且導(dǎo)函數(shù)在此點a一定連續(xù)？？
老師能不能講得再仔細點，還有，怎么判斷導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)呢？？[em:18]

戰(zhàn)地黃花

(1)記住前提:先驗證了函數(shù)在分界點處連續(xù)!!!!!!!!!!!
(潛臺詞:有時候,這個工作量也不小.)
(2)在此前提下,你的理解正確.即
"如果導(dǎo)函數(shù)趨于點a的雙側(cè)極限存在且相等，則函數(shù)在點a一定可導(dǎo).而且導(dǎo)函數(shù)在點a一定連續(xù)."
         最好是完整地說:
         "如果分段函數(shù)在分界點處連續(xù),且兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)極限存在且相等，則函數(shù)在分界點可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)就是極限值.這時,導(dǎo)函數(shù)在分界點連續(xù)."
        (3)"導(dǎo)函數(shù)在點a一定連續(xù)."是此時的客觀存在事實.
        (4).要把問題徹底弄懂,必須自己練習(xí)一遍.我把過程提示如下:
            驗證了函數(shù)在分界點處連續(xù)后,寫出右導(dǎo)數(shù)定義式
       對右導(dǎo)數(shù)定義式中的增量商運用拉格朗日公式      
          求極限思考結(jié)果

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-5-4 08:00 編輯 ]

chonini

http://www.0313v.com/viewthread ... ;page=1#pid30897194
這個也挺有意思，能幫看看嘛？

戰(zhàn)地黃花

與有意思(5)配合看

sdc2010

老師，所有分段函數(shù)的在間斷點的導(dǎo)數(shù)都可以用兩種方法了對吧？大不了就是不存在

戰(zhàn)地黃花

對，要么直接用定義考查，要么先考查連續(xù)性，……。

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-10-7 09:09 編輯 ]

maoda_1986

老師威武~

snapeliu0718

啊 哈  我是來扒舊帖學(xué)習(xí)的 {:soso_e128:}  受教了

snapeliu0718

“如果導(dǎo)函數(shù)在點 a 的右極限存在，則函數(shù)在點 a 的右導(dǎo)數(shù)一定存在，且兩者相等。”
這句話，我想到用極限定義和導(dǎo)數(shù)定義不用拉格朗日也可以證明
其中，證明過程中重要條件就是 此分段函數(shù)在分界點a處連續(xù)
所以，“”先驗證了函數(shù)在分界點處連續(xù)!!!”很重要啊，是前提條件