考研數學講座（40）向量內積學在前

戰地黃花

集合上的運算概念再向上提升，就是集合上的“二元關系”。內積正是我們在向量集合上規定的一個“二元關系”—— 兩個n維向量對應唯一確定的一個數。即
       對于任意兩個 n 維行向量 α = (α1, α2, … ，αn) , β = (β1,β2 ,… ，βn) , 規定
                         內積 α?β = αβˊ= α1β1 + α2β2 + …  + αnβn（ = β?α）
      （畫外音：喜歡口訣嗎？左行右列作內積。對應分量積相加。）
       正如我們在指導（37）中所述，在一定意義上，內積的創意起自于表示齊次線性方程組的需要。把 n 個未知量記為未知列向量 x =（x1，x 2，… ，x n）ˊ，就可以把齊次線性方程組簡化表示為  Ax = 0，即第 k 個方程的左端就是A的第 k 行與 x 的內積。
       數學一的考生學習了《空間解析幾何》基礎知識。《空解》與《平解》的基本差別在于，《平解》的基本工具是方程；而《空解》的基本工具是“向量代數”。其中，向量的“數量積”就是內積。《空解》中介紹了“數量積”的物理模型背景；用內積描述“向量在軸上的投影”；用內積建立軌跡方程；用內積計算各種交角；……。可惜我們的《高等數學》教材往往在多元微積分部分不再注重引導學生使用“數量積”。同學們學習第二型（關于坐標的）曲線積分，曲面積分感到困難，一定意義上說，就是對“數量積”及其物理模型背景理解得較差。
       內積的應用之廣，遠遠超越了它的運算本意。
      1．距離   
      *在《空間解析幾何》中， 向量坐標 =  終點坐標 － 起點坐標，向量“模長”就是兩點間的距離。
      讓 n 維向量 α =（α1，…，αn）和自己作內積，即   α?α =  α平方 = ααˊ= α12 + … +αn2
          通常稱 ααˊ的祘術根為向量 α 的“模長”。記為 |α| 。 α∕|α| 是（α方向的）單位向量。并由此得到一個小結論：n 維向量 α 是零向量的充分必要條件是，ααˊ= 0
          借助于向量“模長”與內積，可以進一步在集合內抽象定義“距離”。有了“距離”，又可以再引申出特定意義的“逼近”與“收斂”。這是一條深邃的理論鏈。最簡單的一個應用是，對于實踐中出現的不相容的線性方程組 A x = β，我們可以求“使模長 | A x － β| 最小的 x ”，作為線性方程組的解。即最小二乘解。

      2．向量組線性相關，線性無關的等價條件   
     《線性代數》教材中通常把n維向量設為列向量。這樣就可以把 m×n 階矩陣 A 表示為
        A = (a1，a2，---，a n ) ，又稱為矩陣A的列分塊表達式。
      其中，列向量  a1 = ( a 11，---，a n 1 )ˊ，…… ， a n  = ( a 1n ，- - - ，a n n )ˊ
           如果把每個列塊視為一個元素，A = (a1，a2，… ，a n) 就是一個“形式向量”。這個觀念對學習《線性代數》大有好處。比如，讓“形式向量”與未知列向量x作“形式內積”，可以把齊次線性方程組 A x = 0  改寫為
           (a1，a2，… ，a n) （x1，x 2，… ，x n）ˊ= 0   即   x1 a1+ x 2 a2 +--- + x n a n = 0
           對比一下向量組線性相關的定義，就能產生一個新的描述方式：
      一個（n 維）列向量組線性相關的充分必要條件是，以它們為列作系數矩陣，相應的齊次線性方程組有非零解。
      一個（n 維）列向量組線性無關的充分必要條件是，以它們為列作系數矩陣，相應的齊次線性方程組僅有零解。
      向量語言與方程語言融合，給我們提供了新的討論方法。最基本的一條是
            “ n 個 n 維向量線性相關的充分必要條件是，它們排成的行列式值為 0 ”
          例13     討論 向量 α1 =（1，1，0），α2 =（1，3，－1），α3 =（5，3，t）的線性相關性。
      分析  三個三維向量線性相關的充分必要條件是，它們排成的三階行列式值為0
              由此列方程可以計算得，當t=1時，三向量線性相關。當t ≠ 1時，三向量線性無關。
       3．線性方程組 A x = β  有解的等價條件
       對于一般的線性方程組 A x = β ，即   x1 a1+ x 2 a 2 +… + x n a n = β ，也有新說法：
           “線性方程組 A x = β  有解的充分必要條件是，向量 β 可以被 A 的列向量組線性表示。”
            比如，已知向量β可以被向量組 a1，a 2，a 3 線性表示為 β = a1 + 2a 2  ，如果有必要，我們可以說，已知表明，線性方程組 (a1，a2，a 3) x = β 有非零解 α = (1,2,0)ˊ
       4．正交概念與齊次線性方程組 Ax = 0 的解
       如果內積  αβˊ= 0 ，稱向量 α 與 β 正交。在三維空間，正交就是垂直。在一般的 n 維空間，正交是垂直概念的推廣。
       利用正交概念，可以給齊次線性方程組 Ax = 0 的解向量一個新的含意：
       向量 α 是齊次線性方程組 Ax = 0 的解向量的充分必要條件是，α 與 A 的每個行向量都正交。
       如果 a1，a2 是兩個線性無關的3維向量，（即不平行。）在三維空間內思考齊次線性方程組 (a1，a2) x = 0 的解集，是一個很有趣的幾何現象。兩個互不平行的系數向量平行于同一平面，垂直于平面的每個向量，都是這個方程組的解。顯然解集的秩為1 。
       向量內積滿足交換律。如果 已知齊次線性方程組 Ax = 0 的 k 個解，β1，… ，βk   ，我們作新的齊次線性方程組（β1，… ，βk）x = 0 ，則原方程組的每個系數行向量轉置為列向量，都是這個新方程組的解。

      例14  非零正交向量組 a1，a 2，---，a k 一定是線性無關組。
      分析 設有一組數  c1，c2，---，c k ，使得 c1a1 + c2a 2 + ---+ c k a k = 0
           （畫外音：要記住這個“八股”開場白哦。）
       等式兩端分別和 a1 作內積，得 c1a1?a1 = 0 ，只有 c1 = 0；如法炮制，得常數全為 0
          例15     設 n 維行向量組 a1，a 2，---，a k  線性無關，k＜n ，以它們為系數作有 k 個方程的齊次線性方程組。若向量 β 是這個方程組的非零解。試證向量組 a1，a 2，---，a k，β 線性無關。
       分析   設有一組數 c1，c2，---，c k，s，使得  c1a1+ c2a 2+ ---+ c k a k+ s β = 0
         β 是齊次線性方程組的非零解，它必與各系數行向量正交。
     等式兩端分別和β作內積，得 sβ?β = 0 ，只有 s = 0 ；代回等式去，再利用已知線性無關性可得常數全為0
        *例15是原數學四的考題。它可以深化為，“……，若這個方程組有s個線性無關的非零解，k + s ＜ n ，則系數組與解組的合并組線性無關。”
         在高級語言中，把向量空間的最大無關組稱為空間的坐標基。簡稱為基（或基底）。齊次線性方程組的基礎解系就是其解向量空間的基。無論在理論上或應用中，往往需要選擇兩兩正交，模長皆為1的基向量組。稱為“標準正交基”。 《空解》背靠直角坐標系，以三個坐標軸方向的單位向量 i，j，k 為基向量組，給出了向量的坐標。i，j，k 就是三維向量空間的一組標準正交基。
      如果需要，可以用斯密特正交化方法，把已知的最大無關組改造為標準正交組。
     （畫外音：教材上介紹的這個古典方法被專家們發現有數值不穩定性，已被改進。）
      斯密特正交化方法要點——不仿以改造三維向量空間里的線性無關組 α，β，γ 為例。
     （1）將 α 單位化。仍記為 α1
         （2）選 β1 = cα1 +β，用 β1 與 α1 正交的條件立方程確定 c ，最后單位化，記為 α2
         （畫外音：這是在α，β所確定的二維子空間里挑選“替補隊員”。）
     （3）選 γ1 = sα1 + tα2 + γ，用 γ1 與 α1，α2 正交的條件確定 s 及 t，最后單位化，記為 α3
           就這樣，在研考范圍內已經夠用了。
      向量內積，貫穿《線性代數》全書。學在前列，很有必要。
      向量入門，《線代》入門。基本工具，無法回避。有志考研，愿君努力。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-2-18 08:40 編輯 ]

戰地黃花

向量入門，《線代》入門。   
  向量內積，貫穿《線性代數》全書。學在前列，很有必要。

戰地黃花

第一步：扎實讀書，吃透概念。

戰地黃花

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戰地黃花

內積背景深。
能定義內積，就有“距離”與“逼近”。

戰地黃花

觀念第一

戰地黃花

系統不支持上下標,版式真難看.

戰地黃花

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戰地黃花

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謝謝老師了 我復制下載啦