考研數(shù)學(xué)講座（40）向量內(nèi)積學(xué)在前

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-2-17 09:40

集合上的運算概念再向上提升，就是集合上的“二元關(guān)系”。內(nèi)積正是我們在向量集合上規(guī)定的一個“二元關(guān)系”—— 兩個n維向量對應(yīng)唯一確定的一個數(shù)。即
   對于任意兩個 n 維行向量 α = (α1, α2, … ，αn) , β = (β1,β2 ,… ，βn) , 規(guī)定
                     內(nèi)積 α?β = αβˊ= α1β1 + α2β2 + …  + αnβn（ = β?α）
   （畫外音：喜歡口訣嗎？左行右列作內(nèi)積。對應(yīng)分量積相加。）
   正如我們在指導(dǎo)（37）中所述，在一定意義上，內(nèi)積的創(chuàng)意起自于表示齊次線性方程組的需要。把 n 個未知量記為未知列向量 x =（x1，x 2，… ，x n）ˊ，就可以把齊次線性方程組簡化表示為  Ax = 0，即第 k 個方程的左端就是A的第 k 行與 x 的內(nèi)積。
   數(shù)學(xué)一的考生學(xué)習(xí)了《空間解析幾何》基礎(chǔ)知識?！犊战狻放c《平解》的基本差別在于，《平解》的基本工具是方程；而《空解》的基本工具是“向量代數(shù)”。其中，向量的“數(shù)量積”就是內(nèi)積。《空解》中介紹了“數(shù)量積”的物理模型背景；用內(nèi)積描述“向量在軸上的投影”；用內(nèi)積建立軌跡方程；用內(nèi)積計算各種交角；……?？上覀兊摹陡叩葦?shù)學(xué)》教材往往在多元微積分部分不再注重引導(dǎo)學(xué)生使用“數(shù)量積”。同學(xué)們學(xué)習(xí)第二型（關(guān)于坐標(biāo)的）曲線積分，曲面積分感到困難，一定意義上說，就是對“數(shù)量積”及其物理模型背景理解得較差。
   內(nèi)積的應(yīng)用之廣，遠遠超越了它的運算本意。
   1．距離
   *在《空間解析幾何》中，向量坐標(biāo) =  終點坐標(biāo) －起點坐標(biāo)，向量“模長”就是兩點間的距離。
   讓 n 維向量 α =（α1，…，αn）和自己作內(nèi)積，即 α?α =  α平方 = ααˊ= α12 + … +αn2
      通常稱 ααˊ的祘術(shù)根為向量 α 的“模長”。記為 |α| 。 α∕|α| 是（α方向的）單位向量。并由此得到一個小結(jié)論：n 維向量 α 是零向量的充分必要條件是，ααˊ= 0
      借助于向量“模長”與內(nèi)積，可以進一步在集合內(nèi)抽象定義“距離”。有了“距離”，又可以再引申出特定意義的“逼近”與“收斂”。這是一條深邃的理論鏈。最簡單的一個應(yīng)用是，對于實踐中出現(xiàn)的不相容的線性方程組 A x = β，我們可以求“使模長 | A x － β| 最小的 x ”，作為線性方程組的解。即最小二乘解。

   2．向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)的等價條件
   《線性代數(shù)》教材中通常把n維向量設(shè)為列向量。這樣就可以把 m×n 階矩陣 A 表示為
      A = (a1，a2，---，a n ) ，又稱為矩陣A的列分塊表達式。
   其中，列向量  a1 = ( a 11，---，a n 1 )ˊ，…… ， a n  = ( a 1n ，- - - ，a n n )ˊ
         如果把每個列塊視為一個元素，A = (a1，a2，… ，a n) 就是一個“形式向量”。這個觀念對學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》大有好處。比如，讓“形式向量”與未知列向量x作“形式內(nèi)積”，可以把齊次線性方程組 A x = 0  改寫為
         (a1，a2，… ，a n) （x1，x 2，… ，x n）ˊ= 0 即 x1 a1+ x 2 a2 +--- + x n a n = 0
         對比一下向量組線性相關(guān)的定義，就能產(chǎn)生一個新的描述方式：
   一個（n 維）列向量組線性相關(guān)的充分必要條件是，以它們?yōu)榱凶飨禂?shù)矩陣，相應(yīng)的齊次線性方程組有非零解。
   一個（n 維）列向量組線性無關(guān)的充分必要條件是，以它們?yōu)榱凶飨禂?shù)矩陣，相應(yīng)的齊次線性方程組僅有零解。
   向量語言與方程語言融合，給我們提供了新的討論方法。最基本的一條是
         “ n 個 n 維向量線性相關(guān)的充分必要條件是，它們排成的行列式值為 0 ”
      例13    討論向量 α1 =（1，1，0），α2 =（1，3，－1），α3 =（5，3，t）的線性相關(guān)性。
   分析  三個三維向量線性相關(guān)的充分必要條件是，它們排成的三階行列式值為0
            由此列方程可以計算得，當(dāng)t=1時，三向量線性相關(guān)。當(dāng)t ≠ 1時，三向量線性無關(guān)。
   3．線性方程組 A x = β  有解的等價條件
   對于一般的線性方程組 A x = β ，即 x1 a1+ x 2 a 2 +… + x n a n = β ，也有新說法：
         “線性方程組 A x = β  有解的充分必要條件是，向量 β 可以被 A 的列向量組線性表示。”
         比如，已知向量β可以被向量組 a1，a 2，a 3 線性表示為 β = a1 + 2a 2  ，如果有必要，我們可以說，已知表明，線性方程組 (a1，a2，a 3) x = β 有非零解 α = (1,2,0)ˊ
   4．正交概念與齊次線性方程組 Ax = 0 的解
   如果內(nèi)積  αβˊ= 0 ，稱向量 α 與 β 正交。在三維空間，正交就是垂直。在一般的 n 維空間，正交是垂直概念的推廣。
   利用正交概念，可以給齊次線性方程組 Ax = 0 的解向量一個新的含意：
   向量 α 是齊次線性方程組 Ax = 0 的解向量的充分必要條件是，α 與 A 的每個行向量都正交。
   如果 a1，a2 是兩個線性無關(guān)的3維向量，（即不平行。）在三維空間內(nèi)思考齊次線性方程組 (a1，a2) x = 0 的解集，是一個很有趣的幾何現(xiàn)象。兩個互不平行的系數(shù)向量平行于同一平面，垂直于平面的每個向量，都是這個方程組的解。顯然解集的秩為1 。
   向量內(nèi)積滿足交換律。如果已知齊次線性方程組 Ax = 0 的 k 個解，β1，… ，βk ，我們作新的齊次線性方程組（β1，… ，βk）x = 0 ，則原方程組的每個系數(shù)行向量轉(zhuǎn)置為列向量，都是這個新方程組的解。

   例14  非零正交向量組 a1，a 2，---，a k 一定是線性無關(guān)組。
   分析設(shè)有一組數(shù)  c1，c2，---，c k ，使得 c1a1 + c2a 2 + ---+ c k a k = 0
         （畫外音：要記住這個“八股”開場白哦。）
   等式兩端分別和 a1 作內(nèi)積，得 c1a1?a1 = 0 ，只有 c1 = 0；如法炮制，得常數(shù)全為 0
      例15    設(shè) n 維行向量組 a1，a 2，---，a k  線性無關(guān)，k＜n ，以它們?yōu)橄禂?shù)作有 k 個方程的齊次線性方程組。若向量 β 是這個方程組的非零解。試證向量組 a1，a 2，---，a k，β 線性無關(guān)。
   分析   設(shè)有一組數(shù) c1，c2，---，c k，s，使得  c1a1+ c2a 2+ ---+ c k a k+ s β = 0
      β 是齊次線性方程組的非零解，它必與各系數(shù)行向量正交。
   等式兩端分別和β作內(nèi)積，得 sβ?β = 0 ，只有 s = 0 ；代回等式去，再利用已知線性無關(guān)性可得常數(shù)全為0
      *例15是原數(shù)學(xué)四的考題。它可以深化為，“……，若這個方程組有s個線性無關(guān)的非零解，k + s ＜ n ，則系數(shù)組與解組的合并組線性無關(guān)?！?br />       在高級語言中，把向量空間的最大無關(guān)組稱為空間的坐標(biāo)基。簡稱為基（或基底）。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是其解向量空間的基。無論在理論上或應(yīng)用中，往往需要選擇兩兩正交，模長皆為1的基向量組。稱為“標(biāo)準(zhǔn)正交基”。《空解》背靠直角坐標(biāo)系，以三個坐標(biāo)軸方向的單位向量 i，j，k 為基向量組，給出了向量的坐標(biāo)。i，j，k 就是三維向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。
   如果需要，可以用斯密特正交化方法，把已知的最大無關(guān)組改造為標(biāo)準(zhǔn)正交組。
   （畫外音：教材上介紹的這個古典方法被專家們發(fā)現(xiàn)有數(shù)值不穩(wěn)定性，已被改進。）
   斯密特正交化方法要點——不仿以改造三維向量空間里的線性無關(guān)組 α，β，γ 為例。
   （1）將 α 單位化。仍記為 α1
      （2）選 β1 = cα1 +β，用 β1 與 α1 正交的條件立方程確定 c ，最后單位化，記為 α2
      （畫外音：這是在α，β所確定的二維子空間里挑選“替補隊員”。）
   （3）選 γ1 = sα1 + tα2 + γ，用 γ1 與 α1，α2 正交的條件確定 s 及 t，最后單位化，記為 α3
         就這樣，在研考范圍內(nèi)已經(jīng)夠用了。
   向量內(nèi)積，貫穿《線性代數(shù)》全書。學(xué)在前列，很有必要。
   向量入門，《線代》入門。基本工具，無法回避。有志考研，愿君努力。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-2-18 08:40 編輯 ]

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-2-21 09:07

向量入門，《線代》入門。
向量內(nèi)積，貫穿《線性代數(shù)》全書。學(xué)在前列，很有必要。

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-2-27 08:03

第一步：扎實讀書，吃透概念。

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-3-7 08:00

歡迎到空間去看,空間里有新帖

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-3-18 07:08

內(nèi)積背景深。
能定義內(nèi)積，就有“距離”與“逼近”。

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-3-22 08:21

觀念第一

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-4-11 08:25

系統(tǒng)不支持上下標(biāo),版式真難看.

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-5-3 20:32

還值得一讀

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-5-30 20:41

配合配合

wubingwinner · 發(fā)表于 2010-6-2 22:00

謝謝老師了我復(fù)制下載啦

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