2012考研講座（1—8）高數(shù)線代復(fù)習(xí)導(dǎo)引

戰(zhàn)地黃花

講座（1）考好數(shù)學(xué)的基點(diǎn)
        “木桶原理”已經(jīng)廣為人所知曉。但真要在做件事時(shí)找到自身的短處，下意識(shí)地有針對(duì)性地采取措施，以求得滿意的結(jié)果。實(shí)在是一件不容易的事。
         非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生與數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的最基本差別，在于概念意識(shí)。         
        數(shù)學(xué)科學(xué)從最嚴(yán)密的定義出發(fā)，在準(zhǔn)確的概念與嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上層層疊疊，不斷在深度與廣度上發(fā)展。各向齊茂，形成一棵參天大樹。
        在《高等數(shù)學(xué)》中，出發(fā)點(diǎn)處就有函數(shù)，極限，連續(xù)，可導(dǎo)，可微等重要概念。
        在《線性代數(shù)》的第一知識(shí)板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識(shí)板塊中，則是矩陣的特征值與特征向量。
        在《概率統(tǒng)計(jì)》中，第一重要的概念是分布函數(shù)。不過(guò)，《概率》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要學(xué)生有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。
        非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生大多沒有概念意識(shí)，記不住概念。更不會(huì)從概念出發(fā)分析解決問(wèn)題。基礎(chǔ)層次的概念不熟，下一層次就云里霧里了。這是感到數(shù)學(xué)難學(xué)的關(guān)鍵。
        大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的，通常只是為了滿足相關(guān)本科專業(yè)的需要。教師們?cè)谑谡n時(shí)往往不會(huì)太重視，而且也沒時(shí)間來(lái)進(jìn)行概念訓(xùn)練。
        考研數(shù)學(xué)目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導(dǎo)課上，往往會(huì)有學(xué)生莫名驚詫，“與大一那會(huì)兒學(xué)的不一樣。”原因就在于學(xué)過(guò)的概念早忘完了。
        做考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，首先要在基本概念與基本運(yùn)算上下足功夫。

        按考試時(shí)間與分值來(lái)匹配，一個(gè)4分的選擇題平均只有5分鐘時(shí)間。而這些選擇題卻分別來(lái)自三門數(shù)學(xué)課程，每個(gè)題又至少有兩個(gè)概念。你的大腦要飽受交混回想的檢驗(yàn)。你可以由此體驗(yàn)選拔考試要求你對(duì)概念的熟悉程度。
        從牛頓在碩士生二年級(jí)的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻(xiàn)浩如煙海，知識(shí)千錘百煉。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生們所接觸的，只是初等微積分的一少部分。方法十分經(jīng)典，概念非常重要。學(xué)生們要做的是接受，理解，記憶，掌握計(jì)算方法，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單推理。首先是要記得住。
        你要玩好游戲，你也得先了解游戲規(guī)則，把它記得滾瓜爛熟啊。
       你要考得滿意嗎？基點(diǎn)不在于你看了多少難題，關(guān)鍵在于你是否對(duì)基本概念與基本運(yùn)算非常熟悉。
        數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生面壁苦修的一個(gè)方式是畫“聯(lián)絡(luò)圖”。每學(xué)完一章，抽一定時(shí)間復(fù)習(xí)小結(jié)，靜心地用筆理線索。
先默寫出各個(gè)定義，中心定理，輔助定理，簡(jiǎn)單結(jié)論，思考其相互關(guān)系。再回顧主要定理證明 —— 關(guān)鍵步驟是哪步，有無(wú)特色細(xì)節(jié)，可否模仿。哪些可以收編為練習(xí)。條件能否削弱，有無(wú)相應(yīng)反例。在主要參考書上，有沒有更細(xì)化的評(píng)注或說(shuō)明或應(yīng)用。
        有沒有重要算法與公式。如果有，是否有前提條件，是否要判斷分類，……。
        這是一個(gè)下意識(shí)的系統(tǒng)消化手段，也是一個(gè)有效的記憶方法。記住了而還沒有消化好的內(nèi)容，則一點(diǎn)一點(diǎn)地成為定向思維的材料。
        當(dāng)然要做題。有了一定的知識(shí)準(zhǔn)備后，首先做教科書習(xí)題。演練簡(jiǎn)單的題目，體念并熟悉概念與公式。剖析復(fù)雜的題目，了解如何綜合考查自己，學(xué)習(xí)分步邏輯推理。把典型題目與相關(guān)概念或定理或典型方法歸納記憶在一起。進(jìn)一步做參考書及資料上的題，感受了解考研題目如何考查自己。逐漸形成用“獵奇”的眼光去挑選典型題目的能力

        數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生面壁苦修的又一個(gè)方式是積累一個(gè)“材料庫(kù)”。盡可能熟悉課程討論的基本對(duì)象。就如我將在講解時(shí)（微積分部分）推薦的， “三個(gè)典型的（極限）不存在”，“x 趨于+∞ 時(shí)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的無(wú)窮大階數(shù)比較。”“三個(gè)典型的不可導(dǎo)”，“四個(gè)典型的不可積”，……，等等。
        概念記得越準(zhǔn)確，觀察判斷的眼光越犀利。基本定理，基本方法記得越清晰，分析題目時(shí)方向越明白。
        當(dāng)你面對(duì)一個(gè)題目時(shí)，你的自然反應(yīng)是，“這個(gè)題目涉及的概念是 ……”，而非“在哪兒做過(guò)這道題”，才能算是有點(diǎn)入門了。

        講座（2）筆下生花花自紅
        在愛搞運(yùn)動(dòng)的那些年代里，數(shù)學(xué)工作者們經(jīng)常受到這樣的指責(zé)，“一支筆，一張紙，一杯茶，鬼畫桃符，脫離實(shí)際。”發(fā)難者不懂基礎(chǔ)研究的特點(diǎn)，不懂得考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)“寫”與“思”同步的重要性。
        也許是計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的影響，今天的學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，也不太懂得“寫”的重要性。考研的學(xué)生們，往往拿著一本厚厚的考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)資料，看題看解看答案，或看題想解翻答案。動(dòng)筆的時(shí)間很少。
        數(shù)學(xué)書不比小說(shuō)。看數(shù)學(xué)書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。
        科學(xué)的思維是分層次的思維。求解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實(shí)實(shí)地考慮如何邁出第一步。
        或“依據(jù)已知條件，我首先能得到什么？”（分析法）；
        或 “要證明這個(gè)結(jié)論，就是要證明什么？”（綜合法）。
        在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的例。
       “連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和會(huì)怎樣？”
        寫 成 “連續(xù)A + 不連續(xù)B = ？”后就可能想到，只有兩個(gè)答案，分別填出來(lái)再說(shuō)。（窮盡法）。
        如果，“連續(xù)A + 不連續(xù)B = 連續(xù)C”       則   “ 連續(xù)C -連續(xù)A = 不連續(xù)B”
這與定理矛盾。所以有結(jié)論： 連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。

        有相當(dāng)一些數(shù)學(xué)定義，比如“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)”，其中包含有計(jì)算式。能否掌握并運(yùn)用這些定義，關(guān)鍵就在于是否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，
        題面上有已知條件  f ′(1) > 0  ，概念深，寫得熟的人立刻就會(huì)先寫出
                       h 趨于0 時(shí) ， lim( f(1+h) - f(1）) / h > 0
然后由此自然會(huì)聯(lián)想到，下一步該運(yùn)用極限的性質(zhì)來(lái)推理。而寫不出的人就抓瞎了
        又比如《線性代數(shù)》中特征值與特征向量有定義式Aα=λα，α≠ 0，要是移項(xiàng)寫成    （A-λE）α= 0，α≠ 0，
        這就表示α是齊次線性方程組（A-λE）X = 0 的非零解，進(jìn)而由理論得到算法。
        數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)之一是“發(fā)散性”。一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式可能有幾個(gè)轉(zhuǎn)換方式，也許從其中一個(gè)方式會(huì)得到一個(gè)新的解釋，這個(gè)解釋將導(dǎo)引我們邁出下一步。
        車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫一步，觀測(cè)分析邁下步。路只能一步步走。陳景潤(rùn)那篇名揚(yáng)世界的“1+2”論文中有28個(gè)“引理”，那是他艱難地走向輝煌的28步。

        對(duì)于很多考生來(lái)說(shuō)，不熟悉基本計(jì)算是他們思考問(wèn)題的又一大障礙。
       《高等數(shù)學(xué)》感覺不好的考生，第一原因多半是不會(huì)或不熟悉求導(dǎo)運(yùn)算。求導(dǎo)運(yùn)算差，討論函數(shù)的圖形特征，積分，解微分方程等，反應(yīng)必然都慢。
       《線性代數(shù)》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達(dá)形式，那是學(xué)好線性代數(shù)的訣竅。好些看似很難的問(wèn)題，選擇一個(gè)分塊變形就明白了。
       《概率統(tǒng)計(jì)》中，要熟練地運(yùn)用二重積分來(lái)計(jì)算二維連續(xù)型隨機(jī)變量的各類問(wèn)題。對(duì)于考數(shù)學(xué)三的同學(xué)來(lái)說(shuō)，二重積分又是《高等數(shù)學(xué)》部分年年必考的內(nèi)容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。
        要考研嗎，要去聽指導(dǎo)課嗎，最好先自己動(dòng)筆，盡可能地把基本計(jì)算練一練。
        經(jīng)濟(jì)類考生還格外有個(gè)“短板”。就是不熟悉《解析幾何》。要先下點(diǎn)功夫，做到能熟練地建立平面直角坐標(biāo)系下的直線方程（點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式），求兩條直線的交點(diǎn)，隨意能畫出基本初等函數(shù)的圖形等等。
        我一直向考生建議，臨近考試的一段時(shí)間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時(shí)間內(nèi)作某年研考的全巻。中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底。看看成績(jī)多少。不要以為你已經(jīng)看過(guò)這些試卷了。就算你知道題該怎么做，你一寫出來(lái)也可能會(huì)面目全非。
        多動(dòng)筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅。

        講座（3）拓?fù)漕A(yù)備說(shuō)質(zhì)變
        高等微積分（《數(shù)學(xué)分析》）的第一章，講實(shí)數(shù)的完備性。即全體實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)成功一一對(duì)應(yīng)。于是我們從此“點(diǎn)”“數(shù)”不分。
        數(shù)軸的一段稱為區(qū)間。區(qū)間是特殊的數(shù)集。為了方便起見，通常也把半直線說(shuō)成區(qū)間。
        記數(shù)軸的右端趨向?yàn)?+∞（正無(wú)窮大），左端趨向?yàn)??∞（負(fù)無(wú)窮大）。有的數(shù)學(xué)分支虛擬了一個(gè) ∞ 點(diǎn)，把直線說(shuō)成是半徑無(wú)窮大的園。+∞ 與 ?∞ 則是這個(gè)虛擬點(diǎn)的兩側(cè)。
        不含端點(diǎn)的區(qū)間叫開區(qū)間。以點(diǎn) x0 為中心的開區(qū)間稱為x0的鄰域。歷史上約定，說(shuō)“在點(diǎn)x0的鄰近，……”，就是指“在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)，……”。
       （畫外音：開區(qū)間的拓?fù)涠x是，開區(qū)間任意一點(diǎn)，總有至少一個(gè)鄰域，全含于這個(gè)開區(qū)間內(nèi)。）
        一元微積分的拓?fù)浠A(chǔ)是區(qū)間。建立在區(qū)間基礎(chǔ)上的積分叫“黎曼積分”。
        自然數(shù)集與區(qū)間都是含有無(wú)窮個(gè)數(shù)的數(shù)集，但兩者也有差別。
        從有限到無(wú)窮，這是質(zhì)變。
        只含有限個(gè)數(shù)的數(shù)集，一定有最大及最小的數(shù)，而無(wú)窮集則不一定。比如自然數(shù)集有最小值而沒有最大值。數(shù)集（0，1）則既沒有最小值，也沒有最大值。
        兩個(gè)有限集相比時(shí)，一定可以分出，誰(shuí)含有的數(shù)較多。而無(wú)限集之間不能這樣比。只能看兩個(gè)無(wú)限集是否能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。如果兩個(gè)無(wú)限集之間能建立一一對(duì)應(yīng)，則稱這兩個(gè)數(shù)集屬于同一級(jí)別。（專業(yè)詞：有同樣的“勢(shì)”。）相當(dāng)于說(shuō)這兩個(gè)數(shù)集所含有的數(shù)“一樣多”，
        很有趣也很哲學(xué)的是，通過(guò)對(duì)應(yīng) 2n → n ，“偶自然數(shù)集”可以與“自然數(shù)集”建立一一對(duì)應(yīng)。即它們屬于同一級(jí)別。這表明，無(wú)限集的真子集可以與全集建立一一對(duì)應(yīng)，而有限集顯然不行。
        能與自然數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)的無(wú)限集，稱為可列集。可列集中的全體數(shù)，可以與自然數(shù)對(duì)應(yīng)排成一個(gè)“序列”：
                           x1 ，x2 ，…… ，x n ，……
              每個(gè)不可列的無(wú)限集，都一定能與數(shù)集（0，1）建立一一對(duì)應(yīng)。
        這樣一來(lái)，從含有數(shù)的“多少”意義來(lái)看，只有兩類無(wú)限集。可列集或不可列集。
        最令人吃驚的是，盡管有理數(shù)具有稠密性，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間必定至少有一個(gè)有理數(shù)，但是全體有理數(shù)是一個(gè)可列集。實(shí)軸上幾乎全是無(wú)理數(shù)。
      （畫外音：一個(gè)小數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——可列集的“測(cè)度”
        讓我們用一個(gè)個(gè)小區(qū)間來(lái)順次“包裝”可列集的點(diǎn)。第1個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)δ/2，裝入x1 ，第2個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)δ/4，裝入x2 ，第3個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)δ/8，裝入x3 ，……，第n個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)δ / （2的n次方，裝入x n ，……，按照一一對(duì)應(yīng)方式，將可列集的點(diǎn)全體點(diǎn)，裝入了可列個(gè)小區(qū)間內(nèi)。各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)，順次組成公比為1/2的無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，因而可以算得這可列個(gè)小區(qū)間的總長(zhǎng)為δ，由于δ可以取成任意小的正數(shù)，因而這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了，把一個(gè)可列集的點(diǎn)“擠”著排起來(lái)，也不會(huì)在數(shù)軸上占有長(zhǎng)度。用數(shù)學(xué)專業(yè)用語(yǔ)說(shuō)，可列集的“測(cè)度”為0，所以實(shí)軸上幾乎全是無(wú)理數(shù)。）

        講座（4）函數(shù)討論先“微觀”
        微分學(xué)研究函數(shù)。函數(shù)是描述過(guò)程的最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。
        定義 —— 任給定義域內(nèi)一點(diǎn)x，通過(guò)某一對(duì)應(yīng)規(guī)律，有唯一確定的y 值與之對(duì)應(yīng)，就稱變量y是變量x的函數(shù)。記為 y = f（x）
        所謂“對(duì)應(yīng)規(guī)律”，可能是解析表達(dá)式，這是我們所常見的。
        可能是一句話顯示的規(guī)定。例如，絕對(duì)值函數(shù) y = | x |，取整函數(shù) y = [x] ，（y = 不超過(guò)x的最大整數(shù)）
也可能是表格等方式，……，在高數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有含參極限，變上限積分，級(jí)數(shù)等方式。
        定義中的“唯一確定”，排斥了多值情形，有利于討論反函數(shù)。
        美國(guó)，臺(tái)灣的微積分教材都不出現(xiàn)反三角函數(shù)。由于三角函數(shù)是周期函數(shù)，反三角函數(shù)需要選定對(duì)應(yīng)區(qū)間，以保證反三角函數(shù)值能“唯一確定”。其中，
                   y = arcsin x  ， ?1 ≤ x ≤ 1      ，? π / 2 ≤ y ≤ π / 2
                                   y = arctg x  ， x可為任意實(shí)數(shù)，? π / 2 ≤ y ≤ π / 2
              記法“y = f（x）”有雙重含義。理解x為定義域內(nèi)任意一點(diǎn)，它表示這個(gè)函數(shù)。理解x為定義域內(nèi)一點(diǎn)（相對(duì)不變），它表示相應(yīng)的函數(shù)值。在函數(shù)概念的深化討論中，常常用到后一理解。
        我們?cè)缫呀佑|了六類基本初等函數(shù) —— 常函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。
       （畫外音：圈內(nèi)戲稱為“反，對(duì)，冪，指，三”。不如直接記兩對(duì)加一“冪”。）
        初等函數(shù) —— 由六類基本初等函數(shù)通過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合所生成的，且由一個(gè)數(shù)學(xué)式子所表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)。
        這個(gè)定義有可能使得函數(shù)的定義域是一個(gè)可列集。比如，y = √（cos2x?1），一般教材上會(huì)說(shuō)，我們所討論的函數(shù)，其定義域是區(qū)間或區(qū)間的并。
        大學(xué)數(shù)學(xué)還讓學(xué)生學(xué)習(xí)兩類“分段函數(shù)”。或是在不同的定義區(qū)間內(nèi)，分別由不同的初等函數(shù)來(lái)表示的函數(shù)；或者是有孤立的特別定義點(diǎn)的函數(shù)。

        微分學(xué)研究函數(shù)的特點(diǎn)，是先做微觀分析。即討論函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性。再通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)宏觀地研究函數(shù)的圖形特征。即單調(diào)性，有界性，奇偶性，周期性等。
        所謂“微觀分析”，即是任取一點(diǎn)x0 ，討論及描述函數(shù)的相對(duì)變化。
        選定一個(gè)中心點(diǎn)x0，從坐標(biāo)的角度講，可以看成是把原點(diǎn)平移；從物理角度說(shuō)，是給定一個(gè)初始點(diǎn)；從觀察角度議，是選好一個(gè)邊際點(diǎn)。把動(dòng)點(diǎn)x在x0鄰近變動(dòng)稱為“自變量x（在x0處）獲得增量Δx”。
       （潛臺(tái)詞：關(guān)鍵詞 “增量”，既是一個(gè)詞，又是一種新的思維方式。）

        微量分析考慮的問(wèn)題是：
        在x0點(diǎn)鄰近，如果自變量x有一個(gè)增量Δx，則函數(shù)相應(yīng)該有增量 Δy = f（x0+Δx）- f（x0）
        鑒于函數(shù)的任意性與復(fù)雜性，“減號(hào)”只能表示事實(shí)，沒有一般的計(jì)算意義。我們?nèi)绾伪硎觯芯炕蚬烙?jì)這個(gè)Δy 呢？
        第一考慮自然是變化關(guān)系。當(dāng)Δx → 0時(shí)，Δy 會(huì)有什么變化趨勢(shì)呢？三種可能，Δy或趨于0，或不趨于0，或沒有一定的趨向。
        如果Δx → 0時(shí)，必有Δy → 0，就稱函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)。
        第二考慮是“變化率”。中國(guó)人把除法稱為“歸一法”。無(wú)論Δx的絕對(duì)值是多少，商式Δy/Δx的含義總是，“當(dāng)自變量變化一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值平均變化多少。”
              有了極限觀念，自然會(huì)考慮，當(dāng)Δx → 0時(shí)，函數(shù)的平均變化率Δy/Δx有什么變化趨勢(shì)呢？?jī)煞N可能，或者極限存在，或不存在。
        如果Δx → 0時(shí)，Δy/Δx有極限，就稱函數(shù)在點(diǎn)x0可導(dǎo)。稱極限值為函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)。
        請(qǐng)看看，“連續(xù)”與“可導(dǎo)”的概念，出現(xiàn)得多么自然啊。這理的關(guān)鍵是極限觀念。我們中國(guó)人在極限問(wèn)題上先天不足。學(xué)了微積分，知道從有限到無(wú)窮是質(zhì)變。牽涉“無(wú)窮”的問(wèn)題都得用極限工具。形成一點(diǎn)極限思維，那就是很大的收獲。
        函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)連續(xù)，就稱函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)。所產(chǎn)生的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。
        微積分以中值定理為“橋粱”，用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的宏觀特征。這是一元微分學(xué)的基本目的。因此，可導(dǎo)性討論與導(dǎo)數(shù)計(jì)算是第一基礎(chǔ)。
        考研復(fù)習(xí)《高數(shù)》的第一任務(wù)，是基本上理解導(dǎo)數(shù)定義并能作簡(jiǎn)單的定義討論，最重要的是能熟練地求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
        導(dǎo)數(shù)定義作用于基本初等函數(shù)，生成一套有序的求導(dǎo)公式。伴隨著初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)順序，《高等數(shù)學(xué)》建立了“和，差，積，商函數(shù)求導(dǎo)法則”與處理復(fù)合函數(shù)的“鏈鎖法則”。進(jìn)而還有“取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”，“用參數(shù)式表述的函數(shù)求導(dǎo)法”，“隱函數(shù)求導(dǎo)法”，“分段函數(shù)求導(dǎo)法”，……，等等。一切函數(shù)皆可討論可導(dǎo)性，計(jì)算導(dǎo)數(shù)。練習(xí)求導(dǎo)，實(shí)在可行。
        嫻熟地計(jì)算與討論導(dǎo)數(shù)，是討論函數(shù)宏觀特征，乃至比較與估計(jì)定積分的前提與手段。導(dǎo)數(shù)好，則心有靈兮一點(diǎn)通，求不定積分，解微分方程，……，必定是處處反應(yīng)特好。要先練完教材上的求導(dǎo)練習(xí)，再買本《高等數(shù)學(xué)》習(xí)題集，做完全部求導(dǎo)題。練！練！練！讓你明年開春復(fù)習(xí)提高時(shí)，運(yùn)算障礙最少。
      （畫外音：回憶一下吧。小時(shí)候，九九表你背了用了多少年？！初中時(shí)，有理數(shù)運(yùn)算算了多少年？！中學(xué)里，代數(shù)式運(yùn)算你又算了多少年？！而學(xué)習(xí)微積分，你花了多少時(shí)間作求導(dǎo)計(jì)算？！自己就明白高數(shù)差的基本原因之所在了。 ）

        講座（5）極限概念要體驗(yàn)
        極限概念是微積分的起點(diǎn)。極限首先是個(gè)觀念。面對(duì)“沒完沒了”的過(guò)程，用什么方法去準(zhǔn)確描述與討論變量的發(fā)展趣勢(shì)？自然是極限。只能是極限。
        說(shuō)起極限概念的歷史，學(xué)數(shù)學(xué)的都多少頗為傷感。
        很久很久以前，西出陽(yáng)關(guān)無(wú)蹤影的老子就體驗(yàn)到，“一尺之竿，日取其半，萬(wàn)世不竭。”
              近兩千年前，祖氏父子分別用園的內(nèi)接正6n邊形周長(zhǎng)替帶園周長(zhǎng)以計(jì)算園周率；用分割曲邊梯形為n個(gè)窄曲邊梯形，進(jìn)而把窄曲邊梯形看成矩形來(lái)計(jì)算其面積。他們都體驗(yàn)到，“割而又割，即將n取得越來(lái)越大，就能得到越來(lái)越精確的園周率值或面積。”
              國(guó)人樸實(shí)的體驗(yàn)延續(xù)了一千多年，最終沒有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這一點(diǎn)上率先突破。
        極限概念起自于對(duì)“過(guò)程”的觀察。極限概念顯示著過(guò)程中兩個(gè)變量發(fā)展趨勢(shì)的關(guān)聯(lián)。
        自變量的變化趨勢(shì)分為兩類，一類是x → x0  ；一類是x → ∞
               討論x → x0  的情形，通常設(shè)x不會(huì)取到x0 ，這樣一來(lái)，你可以體驗(yàn)到，x → x0  的過(guò)程，和x → ∞一樣“沒完沒了”。
        無(wú)論哪一種情形，我們都不會(huì)考慮x從何處出發(fā)，也不會(huì)考慮x具體如何趨于x0或趨向無(wú)窮。是蛙跳般不停不息，或是左右左右搖搖擺擺，還是連續(xù)地一步一趨？ 如果真的選擇連續(xù)地一步一趨方式，對(duì)x0來(lái)說(shuō)只有從左側(cè)或右側(cè)兩種逼近方式。對(duì)x → ∞而言，則有直接向 +∞ 或直接向 ?∞ 兩種趨向。通常稱這為“兩條道路”，其它形式統(tǒng)稱為“子路徑”。
        “當(dāng)自變量有一個(gè)特定的發(fā)展趨勢(shì)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值是否無(wú)限接近于一個(gè)確定的數(shù)a ？”如果是，則稱數(shù)a為函數(shù)的極限。
        “無(wú)限接近”還不是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。但這是理解極限定義的第一步，最直觀的一步。
學(xué)習(xí)極限概念，首先要學(xué)會(huì)觀察，了解過(guò)程中的變量有無(wú)一定的發(fā)展趨勢(shì)。學(xué)習(xí)體驗(yàn)相應(yīng)的發(fā)展趨勢(shì)。其次才是計(jì)算或討論極限值。

        自然數(shù)列有無(wú)限增大的變化趨勢(shì)。按照游戲規(guī)則，我們還是說(shuō)自然數(shù)列沒有極限。
        我們?cè)缬薪?jīng)驗(yàn)，“若分子不變，而分母的絕對(duì)值越來(lái)越大，則分?jǐn)?shù)的絕對(duì)值只會(huì)越來(lái)越小。”由此即可以體驗(yàn)到，  自然數(shù)n趨于無(wú)窮時(shí)，數(shù)列1/n 的極限是0 ；x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)1/x 的極限為0 ；進(jìn)而得到第一個(gè)求極限的方法：
       “x → ∞，要考查一個(gè)有理分式函數(shù)（即 ：多項(xiàng)式 / 多項(xiàng)式）的變化趨勢(shì)，將分子分母同除以分式中出現(xiàn)的x最高次方。再分別觀察各項(xiàng)。”
            （畫外音：我稱之為“化零項(xiàng)法”處理∞/∞型未定式。）

        回顧我們最熟悉的基本初等函數(shù)，最直觀的體驗(yàn)判斷是， x 趨于正無(wú)窮時(shí)，正指數(shù)的冪函數(shù)都與自然數(shù)列一樣，無(wú)限增大，沒有極限。
        x 趨于正無(wú)窮時(shí)，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都無(wú)限增大，沒有極限。底數(shù)大于0而小于1的指數(shù)函數(shù)則無(wú)限接近于0
              x → 0+ 時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)lnx 趨于 -∞ ；x趨于正無(wú)窮時(shí)，lnx無(wú)限增大，沒有極限。
        x →∞ 時(shí)，正弦sinx 與余弦cosx 都周而復(fù)始，沒有極限。在物理學(xué)中，正弦 y = sinx的圖形是典型的波動(dòng)。
        我國(guó)《高等數(shù)學(xué)》教科書上普遍都選用了“震蕩因子”y = sin（1/x）。當(dāng)x趨于0時(shí)它沒有極限的原因是震蕩。你體驗(yàn)過(guò)它的震蕩嗎？？？
        具體想來(lái)，當(dāng)x 由 0.01變?yōu)?.001時(shí)，只向中心點(diǎn)x = 0靠近了一點(diǎn)點(diǎn)，而中間變?cè)?u = 1/x 的跨步卻長(zhǎng)達(dá)900個(gè)單位，正弦 sin u 相應(yīng)完成了140多個(gè)周期。函數(shù)的圖形在 +1與-1之間上下波動(dòng)140多次。你可以進(jìn)一步體驗(yàn)下去，想想在x = 0的鄰近，函數(shù)各周期的圖形是多么“緊緊地?cái)D”在一起，象是 一片“電子云”。
        當(dāng)年我研究美國(guó)各大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》教材時(shí)，曾看到有的教材竟然把函數(shù)y = sin（1/x）的值整整印了一大頁(yè)，他們就是要讓學(xué)生更具體地體驗(yàn)它的數(shù)值變化。
        用“震蕩因子”能生出很多怪例。我的導(dǎo)師陳慶益先生愛說(shuō)，怪例更深刻地揭示自然。
        x  → 0時(shí)，（1/x）sin（1/x）不是無(wú)窮大。直觀地說(shuō)就是函數(shù)值震蕩而沒有確定的發(fā)展趨勢(shì)。1/x →∞ ，它為虎作倀，讓震蕩要多瘋狂有多瘋狂。
      （畫外音：讓我們分別取兩個(gè)“子過(guò)程”來(lái)觀察。取x = 1 / 2nπ ，相應(yīng)的函數(shù)值列是0數(shù)列，
又取 x = 1 / （2nπ + π / 2），相應(yīng)的函數(shù)值列是2nπ + π / 2，趨向 +∞ ，你能否體會(huì)到劇烈的震蕩。）
        x → 0時(shí) ，顯然有 0 ≤ | xsin（1/x）| ≤ | x | ，夾逼著 xsin（1/x）→ 0 ，你可以體驗(yàn)x好比是個(gè)“摩擦因子”，讓震蕩慢慢消失。實(shí)際上“摩擦因子”可以是 x的δ次方 ，δ是適當(dāng)小的正數(shù)。有摩擦震蕩就會(huì)最終平息。
        能夠翻閱《分析中的反例》的同學(xué)可以在其目錄頁(yè)中看到，很多反例都用到了震蕩因子。

        在同一個(gè)過(guò)程中，如果有多個(gè)變量趨于0，（或絕對(duì)值無(wú)限增大。）那更深入一步的體驗(yàn)是，它們的絕對(duì)值變小（或變大）的速率是一樣呢還是不同的？
        我們?cè)缇陀谐醯葦?shù)學(xué)知識(shí)，“若0 < x < 1，則對(duì)同一個(gè)x，冪次n越高，冪函數(shù) x的 n 次方 值越小。”由此可以粗略體驗(yàn)到，趨于0的各個(gè)變量，其絕對(duì)值變小的速率可能是不同的。可能有的函數(shù)趨于0時(shí) “跑得更快”。這在理論上促成了“高階”，“低階”概念。

        考研數(shù)學(xué)還要要求學(xué)生對(duì)極限有更深刻的體驗(yàn)。
        多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語(yǔ)言，（即ε–δ語(yǔ)言）。沒有這套語(yǔ)言，我們沒有辦法給出極限定義，也無(wú)法嚴(yán)密證明任何一個(gè)極限問(wèn)題。比如前述的最簡(jiǎn)單結(jié)論，“x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)1/x的極限為0 ”；但是，這套語(yǔ)言是高等微積分的內(nèi)容，非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生很難搞懂。數(shù)十年來(lái)，考研試卷上都沒有出現(xiàn)過(guò)要運(yùn)用ε–δ語(yǔ)言的題目。 研究生入學(xué)考題中，考試中心往往用更深刻的“符號(hào)體驗(yàn)”來(lái)考查極限概念。這就是
      “若x 趨于∞ 時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值 f（x）有正的極限 ，則當(dāng)∣x∣充分大時(shí)，(你不仿設(shè)定一點(diǎn)x0，當(dāng)∣x∣> x0時(shí)，) 總有 f（x）> 0  ”
      *“若x 趨于x0時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值 f（x）有正的極限 ，則在x0 的一個(gè)適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，f（x）恒正”
        這是已知函數(shù)的極限而回頭觀察。逆向思維總是更加困難。不過(guò)，這不正和“近朱者赤，近墨者黑”一個(gè)道理嗎。

        除了上述苻號(hào)體驗(yàn)外，能掌握下邊簡(jiǎn)單的數(shù)值體驗(yàn)則更好。
        若x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)的極限為0，則x的絕對(duì)值充分大時(shí)，(你不仿設(shè)定一點(diǎn)x0，當(dāng)∣x∣>x0時(shí)，) 函數(shù)的絕對(duì)值恒小于1
            （潛臺(tái)詞：為什么是“1”，簡(jiǎn)單方便！換個(gè)別的正數(shù)也可以。）
        若x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)為無(wú)窮大，則x的絕對(duì)值充分大時(shí)，(  你不仿設(shè)定一點(diǎn)x0 ，  當(dāng)∣x∣>x0時(shí)，) 函數(shù)的絕對(duì)值全大于1
             *若x趨于0時(shí)，函數(shù)的極限為0，則在0的某個(gè)適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，或x的絕對(duì)值充分小時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值全小于1
           （你不仿設(shè)定有適當(dāng)小的數(shù)δ＞0，當(dāng)0<∣x∣<δ時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值全小于1 ）
        沒有什么好解釋的了，你得反復(fù)領(lǐng)會(huì)極限概念中“無(wú)限接近”的意義。你可以試著理解那些客觀存在，可以自由設(shè)定的點(diǎn)x0，或充分小的數(shù)δ＞0，并利用它們。



講座（6）無(wú)窮小與無(wú)窮大
        微積分還有一個(gè)名稱，叫“無(wú)窮小分析”。
        1. 概念
        定義 —— 在某一過(guò)程中，若函數(shù) f（x）的極限為0，就稱 f（x）（這一過(guò)程中）為無(wú)窮小。
        為了回避ε–δ語(yǔ)言，一般都粗糙地說(shuō)，無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。
        無(wú)窮小是個(gè)變量，不是0 ；是在中心點(diǎn)，過(guò)程，0極限背景下，我們給特定函數(shù)的稱呼。
         y = 0視為“常函數(shù)”，在任何一個(gè)過(guò)程中都是無(wú)窮小。但這是平凡的，沒有實(shí)際意義。通常被排除在討論之外。
         依據(jù)極限定義，無(wú)窮大不存在極限。但是為了強(qiáng)調(diào)在變化過(guò)程中，變量有絕對(duì)值無(wú)限增大的趨勢(shì)，歷史上約定，“非法地”使用等號(hào)來(lái)表示無(wú)窮大，以記述這個(gè)特點(diǎn)。比如
         x從右側(cè)趨于0時(shí)    ，    lim lnx = -∞                   x從左側(cè)趨于π/2時(shí)  ，    lim tgx = +∞
                (潛臺(tái)詞：僅僅表明其絕對(duì)值有無(wú)限增大的趨勢(shì)，并不表示極限存在。)

               2.無(wú)窮大與無(wú)界變量
        無(wú)窮大與無(wú)界變量是兩個(gè)概念。
        無(wú)窮大的觀察背景是過(guò)程，無(wú)界變量的判斷前提是區(qū)間。
        無(wú)窮小和無(wú)窮大量的名稱中隱含著它們（在特定過(guò)程中）的發(fā)展趨勢(shì)。而無(wú)界變量的意思是，在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，其絕對(duì)值沒有上界。
        在適當(dāng)選定的區(qū)間內(nèi)，無(wú)窮大可以是無(wú)界變量。
              y = tgx（在x →π/2左側(cè)時(shí)）是無(wú)窮大。在（0，π/2）內(nèi) y = tgx 是無(wú)界變量
        x 趨于0時(shí)，函數(shù) y =（1/x）sin（1/x）不是無(wú)窮大，但它在區(qū)間（0，1）內(nèi)無(wú)界。
        不仿再用高級(jí)語(yǔ)言來(lái)作個(gè)對(duì)比。任意給定一個(gè)正數(shù)E，不管它有多大，當(dāng)過(guò)程發(fā)展到一定階段以后，無(wú)窮大量的絕對(duì)值能全都大于E ；而無(wú)界變量只能保證在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)至少能找到一點(diǎn)，此點(diǎn)處的函數(shù)絕對(duì)值大于E 。
        3. 運(yùn)算與比較
        有限個(gè)無(wú)窮小量的線性組合是無(wú)窮小 ；“∞-∞”則結(jié)果不確定。（未定式！）
        乘積的極限有三類可以確定：
        有界變量?無(wú)窮小 = 無(wú)窮小      無(wú)窮小?無(wú)窮小 = （高階）無(wú)窮小
        無(wú)窮大?無(wú)窮大 = （高階）無(wú)窮大
        其它情形都沒有必然的結(jié)果，通通稱為“未定式”。
        例1   作數(shù)列  x  = 1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
               y  =  0，1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
              兩個(gè)數(shù)列顯然都無(wú)界，但乘積xy 是零數(shù)列。這表示可能會(huì)有  無(wú)界?無(wú)界 = 有界 ！！！！！！！！！！！

        兩個(gè)無(wú)窮小的商求極限，既是典型的未定式計(jì)算，又有深刻的理論意義。即“無(wú)窮小的比較”。如果極限為1，分子分母為等價(jià)無(wú)窮小；極限為0 ，分子是較分母高階的無(wú)窮小；極限為其它實(shí)數(shù)，分子分母為同階無(wú)窮小。
        無(wú)窮大有類似的比較。
        無(wú)窮小（無(wú)窮大）的比較是每年必考的點(diǎn)。
        x趨于0時(shí)，α = x   sin（1/x）和β = x都是無(wú)窮小，且顯然有∣α∣≤∣β∣；但是它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒有極限。兩個(gè)無(wú)窮小不能比較。這既說(shuō)明了“極限存在”是“比較”的前提，又再一次顯示了震蕩因子sin（1/x）的用途。
         更有意思的是，若 γ == x 的k次方，則無(wú)論 k = 0.9 , 還是k = 0.99, k = 0.999,……，α總是比γ高階的無(wú)窮小。

        回到基本初等函數(shù)，我們看到
        x趨于 +∞ 時(shí)，y = x的μ 次方，指數(shù)μ＞0的冪函數(shù)都是無(wú)窮大。且習(xí)慣地稱為 μ階無(wú)窮大。
          （潛臺(tái)詞：這多象汽車的1檔，2檔，--- 啊。）
        x趨于 +∞ 時(shí)，底數(shù)a大于1的指數(shù)函數(shù) y = a 的x 次方     都是無(wú)窮大；底數(shù)小于1的都是無(wú)窮小。
        x趨于 +∞ 或 x 趨于0+ 時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù) y = lnx 是無(wú)窮大。
        x 趨于∞ 時(shí)，sin x 及 cos x 都沒有極限。       正弦，余弦，反三角函數(shù)都是有界變量。

        請(qǐng)?bào)w驗(yàn)一個(gè)很重要也很有趣的事實(shí)。
      （1） x → +∞ 時(shí)，  lim（ x 的n次方  ∕  e的 x 次方） =  0  ， 這表明：
        “x趨于 +∞ 時(shí)，指數(shù)函數(shù)e xp（x ）是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無(wú)窮大。”
       （2） x → +∞ 時(shí)，  lim（ ln x  ∕ x的δ 次方）= 0； δ是任意取定的一個(gè)很小的正數(shù)。這表明：
               “對(duì)數(shù)函數(shù) ln x是比 xδ 都還要低階的無(wú)窮大。”

        只需簡(jiǎn)單地連續(xù)使用洛必達(dá)法則就能求出上述兩個(gè)極限。它讓我們更深刻地理解了基本初等函數(shù)。如果只知道極限值而不去體驗(yàn)，那收獲真是很小很小。
        例2     函數(shù)f (x) = xsinx ，則
           （A）當(dāng)x →∞ 時(shí)為無(wú)窮大。    （B）在（-∞，+∞）內(nèi)有界。
                      （C）在（-∞，+∞）內(nèi)無(wú)界。  （D）在x → ∞ 時(shí)有有限極限。   
        分析   這與 y =（1/x）sin（1/x）在x趨于0時(shí)的狀態(tài)一樣。     （選（C））
        例3  已知數(shù)列 x n和y n 滿足 n → ∞ 時(shí)，lim x n y n = 0 ，則
         （A）若數(shù)列x n發(fā)散，數(shù)列y n必定也發(fā)散。 （B）若數(shù)列x n無(wú)界，數(shù)列y n必定也無(wú)界。
         （C）若數(shù)列x n有界，數(shù)列y n必定也有界。（D）若變量1 ∕ x n為無(wú)窮小量，則變量y n必定也是無(wú)窮小量。
         分析  盡管兩個(gè)變量的積為無(wú)窮小，我們卻無(wú)法得到其中任何一個(gè)變量的信息。例10給了我們一個(gè)很好的反例。對(duì)本題的（A）（B）（C）來(lái)說(shuō)，只要y n是適當(dāng)高階的無(wú)窮小，就可以保證lim x n y n = 0
              無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。故（D）中條件表明x n為無(wú)窮大。
         要保證lim x n y n = 0  ，y n 必須為無(wú)窮小量。應(yīng)選答案（D）。

《線性代數(shù)》——
       （37）欲說(shuō)《線代》先方程
        初等數(shù)學(xué)以引入負(fù)數(shù)為起點(diǎn)，以方程為其重心之一。
        最簡(jiǎn)單的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解”。
        什么東東叫一個(gè)方程（組）的根 —— 把東東代入這個(gè)方程（組），方程（組）化為恒等式。這個(gè)概念是學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》的基本需要。不少人讀到“齊次線性方程組有限個(gè)解的線性組合，仍然是該方程組的解”感覺盲然沒反應(yīng)，一是忘了概念，二是不動(dòng)筆。應(yīng)對(duì)這些貌似理論的語(yǔ)句，其實(shí)方法很簡(jiǎn)單。是不是“解”，代入方程（組）算一算。
（潛臺(tái)詞：關(guān)鍵是要勤動(dòng)筆。）
        由一元一次方程出發(fā)，關(guān)于方程的研究向兩個(gè)方向發(fā)展：
       （1）一元n次方程
       （2）n 元一次方程組（線性方程組）
        大學(xué)數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》教材有兩大板塊。第一板塊解線性方程組。基本工具是矩陣，核心概念是矩陣的秩，理論重心是“齊次線性方程組解集的構(gòu)造”。 第二板塊是矩陣特征理論基礎(chǔ)知識(shí)，在更高層次討方陣及其應(yīng)用。
        n 階方陣 A 的特征方程是個(gè)一元 n 次方程。
        一元n次方程的討論點(diǎn)為：求根公式，根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系。
        一元二次方程有求根公式，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩個(gè)根。（二重根算兩個(gè)根。）有韋達(dá)定理顯示根與系數(shù)的關(guān)系。
        從十六世紀(jì)到十八世紀(jì)，人們努力探索了近兩百年，也沒能找到一元五次方程及五次以上方程的求根公式。回頭又花去整整六十年，才證明了所期盼的求根公式不存在。以后在理論方向發(fā)掘，又證明了
        “一元n次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根。”（k重根算k個(gè)根。）
         還同樣找到了高次方程的 “韋達(dá)定理”。

        對(duì)線性方程組的討論則衍生出若干基本理論。可以合稱為線性理論。依靠著完美透徹的線性理論，所有的線性問(wèn)題（線性方程組，線性微分方程組，……）都得到了園滿解決。
         在研究非線性問(wèn)題時(shí)，人們找到了“有限元”，“邊界元”等線性化計(jì)算方法。但是一個(gè)非線性問(wèn)題用線性化計(jì)算方法產(chǎn)生的齊次線性方程組可能有成千上萬(wàn)個(gè)方程。這樣一來(lái)，方程組的表達(dá)方式自然就上升為首要問(wèn)題。
        描述一個(gè)齊次線性方程  a1x1 + a2x2 + --- + a nx n = 0 ，實(shí)際上只需按順序?qū)懗鏊南禂?shù)組就行了。這就產(chǎn)生了形式上的 n 維向量（a1，a2， …… ，an）。
        方程組的兩種同解變換，即“方程兩端同乘以一個(gè)數(shù)”與“兩個(gè)方程相加（減）”，正好相應(yīng)照“數(shù)乘向量”與“向量加法”。

        如果是有m個(gè)方程的齊次線性方程組，則m個(gè)系數(shù)行就排成一個(gè)m×n階矩陣。
        如果把 n 個(gè)未知量也按順序排成一個(gè)向量，（x1，x2， …… ，x n），則每個(gè)方程的左端
“a1x1 + a2x2 + --- + a n x n” ，正好是，系數(shù)向量與未知量向量的 “對(duì)應(yīng)分量?jī)蓛上喑耍釉谝黄稹薄?shù)學(xué)家們把這個(gè)計(jì)算方式規(guī)定為“向量的內(nèi)積（數(shù)量積）”。進(jìn)而規(guī)定出“矩陣的乘法”。

        運(yùn)用有限元方法轉(zhuǎn)換模型時(shí)，要多方交互使用每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的數(shù)據(jù)。這就不可避免地會(huì)產(chǎn)生一個(gè)負(fù)面效應(yīng)。即所得齊次線性方程組中可能有相當(dāng)數(shù)量“多余的”方程。（如果用幾個(gè)方程的左端作線性組合，可以得到組內(nèi)別的某個(gè)方程，那個(gè)方程就會(huì)在同解變換中化為恒等式。所以是“多余的”方程。）這就產(chǎn)生了第二個(gè)問(wèn)題：
         “一個(gè)齊次線性方程組中，究竟有多少個(gè)方程是相互獨(dú)立的？”
              由此有相應(yīng)概念 —— 矩陣的秩，n維向量組的秩。

        解決一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往需要發(fā)展一門甚至多門基礎(chǔ)理論。人類的最終收獲，常常是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越問(wèn)題本身。歐洲歷史上有很多理髮師與鐘表匠熱衷于數(shù)學(xué)研究。中國(guó)民間也有大量的數(shù)學(xué)愛好者。中國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)常常收到很多諸如“證明哥德巴赫猜想”之類的民間論文，無(wú)人敢于拜讀只能束之高閣。作者們責(zé)難專家們?yōu)槭裁床荒軒蛶屠习傩铡；卮鹪唬鉀Q這樣巨難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，必然需要新的基礎(chǔ)理論。沒有這個(gè)前提，你的證明自然是錯(cuò)的。
        知道一點(diǎn)實(shí)際背景，會(huì)感到一切都自然而然。因?yàn)樾枰鴦?chuàng)生新的描述方式；因?yàn)樾枰x新的概念；因?yàn)樾枰耙?guī)定”集合中的運(yùn)算；…… 。愿這能有助于你減少一點(diǎn)抽象感。

       （38）提升觀念學(xué)集合
        數(shù)學(xué)所說(shuō)的集合，往往依賴“數(shù)”或“形”而生。隱含集合中的“元素”有一定的共性特征。
        1.   集合與線性運(yùn)算
       《線性代數(shù)》的基本研究對(duì)象是矩陣集合 —— 全體m × n階矩陣 —— m n個(gè)元所排成的矩形陣列。
        n 階方陣是矩陣集合最重要的子集合。
        在我們學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，n 階方陣有兩個(gè)特殊的重要的子集合 ：
        滿秩方陣 —— （下含）正交陣   ， 對(duì)稱陣 —— （下含）正定陣
        n維向量集合就是全體n元有序數(shù)組（a1，a2，-----，a n）。有時(shí)候也把n維向量看成特殊的矩陣，即（n × 1）階行矩陣或（1 × n）階列矩陣。
        矩陣集合與n 維向量集合上都定義了“數(shù)乘”與“加法”。
        在微分學(xué)中，常用集合記號(hào)C[a，b] 表示區(qū)間 [a，b] 上的全體連續(xù)函數(shù)。用C1（a，b）表示在區(qū)間（a，b）上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)的全體函數(shù)。…… ，用C∞（a，b）表示在區(qū)間（a，b）上任意階可導(dǎo)的全體函數(shù)。只不過(guò)一般《高等數(shù)學(xué)》教材上都沒有引入這些記號(hào)。
        研究函數(shù)集合時(shí)，首先考慮的也是“數(shù)乘”與“加法”。
        “數(shù)乘”與“加法”合稱為線性運(yùn)算。由于有負(fù)數(shù)，因而“加法”實(shí)際上包含了通常的減法。人們?cè)谟懻撘话愕募蠒r(shí)，往往都希望能在集合中定義線性運(yùn)算。
        集合中的若干個(gè)元素既作數(shù)乘又作加法，稱為這些元素作“線性組合”。學(xué)到這個(gè)地步，要會(huì)體驗(yàn)數(shù)學(xué)式的雙重含義。一個(gè)線性組合式，它既表示相應(yīng)的運(yùn)算過(guò)程，又代表整個(gè)運(yùn)算的結(jié)果。說(shuō)“向量的線性組合”，有時(shí)就指的是線性運(yùn)算最終所得到的向量。還比如：
        有限個(gè)無(wú)窮小量的線性組合是無(wú)窮小量。 （“線性組合”表示運(yùn)算結(jié)果）
        有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的線性組合連續(xù)。 有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的線性組合可導(dǎo)。
                     ……     ……     ……      ……
       （畫外音：也不要隨口說(shuō)啊。無(wú)窮大的線性組合不一定是無(wú)窮大。“∞ - ∞” 是未定式。）
        對(duì)于一個(gè)集合，我們既要考慮能否定義線性運(yùn)算，又還要進(jìn)一步考慮，這個(gè)集合對(duì)于線性運(yùn)算是不是“封閉”的。即集合中的任意有限個(gè)元素的線性組合，是否還屬于這個(gè)集合。是！我們就說(shuō)“集合對(duì)于線性運(yùn)算是封閉的。”高一個(gè)層次的理論中，這是集合能否被稱為“線性空間”首要條件。
        顯然，m × n階矩陣集合，n 維向量集合，C[a，b] 函數(shù)集合，C k（a，b）函數(shù)集合，對(duì)于線性運(yùn)算都是封閉的。

         2.向量?jī)?nèi)積與矩陣乘法
        由于理論或應(yīng)用的需要，人們經(jīng)常需要考慮在集合上定義更特殊的“運(yùn)算”。這些“運(yùn)算”在觀念上要比四則運(yùn)算高一個(gè)層次。本質(zhì)上是人為規(guī)定的，集合中任意兩個(gè)元與唯一的“第三者”的特殊對(duì)應(yīng)規(guī)律。 高級(jí)語(yǔ)言稱之為集合上的 一個(gè)“二元關(guān)系” 。
        內(nèi)積是n維向量集合上的一個(gè)“二元關(guān)系”—— 兩個(gè)n維向量對(duì)應(yīng)唯一確定的一個(gè)數(shù)。即
        對(duì)任意兩個(gè)n 維行向量  α = (α1, α2, … ，αn) , β = (β1,β2 ,… ，βn) , 規(guī)定
                  內(nèi)積 α?β = αβˊ=  α1β1 + α2β2 + … + αnβn （ = β?α）
       （畫外音：喜歡口訣嗎？左行右列作內(nèi)積。對(duì)應(yīng)分量積相加。）
        內(nèi)積又叫數(shù)量積。定義內(nèi)積是深化討論的常用手段，理論背景深遠(yuǎn)，應(yīng)用范圍廣闊。比如，更高層次的討論中，在C[a，b] 函數(shù)集合上定義內(nèi)積為         內(nèi)積 （f，g）= 積函數(shù)f（x）g（x）在[a，b]上的定積分
        《線性代數(shù)》教材中通常把n維向量設(shè)為列向量。借助于列向量可以把m×n階矩陣A表示為  
                      A = (a1，a2，…，a n ) ，稱為矩陣 A 的 列分塊式 。
其中，列向量  a1 = ( a 11，…，a n 1 ) ˊ，…… ，  a n  = ( a 1n ，… ，a n n ) ˊ
        如果把每個(gè)列塊視為一個(gè)元素，可以說(shuō) A = (a1，a2，… ，a n) 是一個(gè)“形式向量”。這個(gè)觀念對(duì)學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》大有好處。比如，讓“形式向量”與未知列向量x作“形式內(nèi)積”，可以把齊次線性方程組 A x = 0 改寫為
                  (a1，a2，… ，a n) （x1，x 2，… ，x n）ˊ= 0  
即                       x1 a1+ x 2 a2 +……+ x n a n  =  0
              后面將會(huì)利用這個(gè)形式轉(zhuǎn)換，把“（列）向量組的線性相關(guān)性”與“齊次線性方程組有無(wú)非零解”相連系。

        矩陣乘法是矩陣集合上的一個(gè)“二元關(guān)系” 。它的計(jì)算基礎(chǔ)是向量?jī)?nèi)積。具體規(guī)定為 ——
m×n 階矩陣A（a i j）與n×s 階矩陣B（b i j）可以有乘積矩陣AB =（c i j），
        AB是m×s階矩陣，它的元素c i j 具體為     c i j  =  A的第i 行與B的第 j 列的內(nèi)積。
即          c i j  =  a i 1b j1 + a i2 b j 2 + … + a i n b j n   ，1≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ s
階數(shù)規(guī)則 （m×n）（n×s）=（m×s）， 保證“左行右列作內(nèi)積”可行。

         最特殊的兩種情形是    （m×1）（1×s）=（m×s）   與  （1×n）（n×1）=（1×1）
后一情形就是兩個(gè)向量作內(nèi)積。

         進(jìn)一步有分塊矩陣乘法。
         按照應(yīng)用需要，《線性代數(shù)》常常會(huì)將矩陣變化為某種分快形式。并實(shí)施矩陣乘法。較常見的是變化矩陣為 列分塊式 或 行分塊式。
         要分塊矩陣乘法可行，必須要在“宏觀”與“微觀”兩方面都確保可乘。
         宏觀可乘：把各分塊看成一個(gè)元素，滿足階數(shù)規(guī)則。
         微觀可乘：所有要相乘的子塊，全都滿足階數(shù)規(guī)則。

         乘法變形1. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×1）（1×s）=（1×s）
             AB = A（b1，b 2，…，b s）=（A b 1，A b 2，…，A b s）
         宏觀可乘：各分塊看成一個(gè)元素，滿足階數(shù)規(guī)則 （1×1）（1×s）=（1×s）
         微觀可乘：對(duì)應(yīng)相乘的子塊 A b j 都滿足： （m×n）（n×1）=（m×1）

         乘法變形2. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×1）（1×s）=（m×s）
         AB =（A的行分塊式）（B的列分塊式）
         這個(gè)分塊乘積式顯式了矩陣乘法與內(nèi)積的關(guān)系。積矩陣AB 的每一個(gè)元都是內(nèi)積形式。

         乘法變形3. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×n）（n×s）=（1×s）
              AB =（a1，a 2，…，a n）（b i j）
                 =（a 1 b 11 + a 2 b 21 + … + a n b n1 ，…，a 1 b 1n + a 2 b 2 n + … + a n b n n）
         乘積AB具列分塊式。且它的各列都是A的列向量的線性組合。

         乘法變形3 的特殊情形就是“形式內(nèi)積”。 （1×n）（n×1）=（1×1），考研數(shù)學(xué)題要求你會(huì)逆向還原：
            c1 a1+ c 2 a2 +……+ c n a n  =  (a1，a2，… ，a n) （c1，c 2，… ，c n）ˊ
         例  設(shè)有列向量組 a1 ，a2 ，a3 ，它們排成矩陣 A =（a1，a2，a3） ，如果它們的三個(gè)線性組合分別是      a1 + a2 + a3   ，a1 + 2a2 +4a3   ，a1 + 3a2 + 9a 3  ，試寫出新的三向量排成的矩陣B與A的關(guān)系。
         分析  關(guān)鍵在于反寫形式內(nèi)積   a1 + a2 + a3 =（a1，a2，a3）（1，1，1）ˊ
                                a1 + 2a2 +4a3 =（a1，a2，a3）（1，2，4）ˊ  
                        a1 + 3a2 + 9a3 =（a1，a2，a3）（1，3，9）ˊ
于是    ，這三個(gè)線性組合為列排成的矩陣 ，等于A乘以  “三個(gè)系數(shù)列排成的矩陣” 。
         乘法變形4. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×n）（n×1）=（m ×1）
              AB =（a i j）（B的行分塊式）
         乘積AB具行分塊式。且它的各行都是B的行向量的線性組合。

        分塊矩陣乘法形式多樣，內(nèi)函豐富。每一類形式變換都帶來(lái)理論新意。充分體現(xiàn)出《線性代數(shù)》的特點(diǎn)，也是重點(diǎn)難點(diǎn)。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)又相當(dāng)陌生，史無(wú)前遇。考研復(fù)習(xí)《線性代數(shù)》的第一任務(wù)，就是熟悉矩陣乘法，熟悉分塊矩陣乘法變換的各種形式及其新含義。

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-11-20 11:21 編輯 ]

shilep

打印出來(lái)，下午琢磨一遍

戰(zhàn)地黃花

12年考先讀書,三月前掃清運(yùn)算.

a451232101

這么好的帖子咋沒人頂~~

斷水云殤

頂樓主！打印出來(lái)去。

heifei

極限概念要體驗(yàn)

[em:42]當(dāng)年學(xué)高數(shù)的時(shí)候就這樣！

wcjimmy1989

留個(gè)爪，慢慢看，字?jǐn)?shù)不少啊

戰(zhàn)地黃花

知識(shí)就是力量

nankaiwuliu

好東西，要頂！

曼波0小米

GOOD   DIN