2012考研講座（1—8）高數線代復習導引

戰地黃花 · 發表于 2010-11-20 10:11

講座（1）考好數學的基點
      “木桶原理”已經廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對性地采取措施，以求得滿意的結果。實在是一件不容易的事。
      非數學專業的本科學生與數學專業學生的最基本差別，在于概念意識。
      數學科學從最嚴密的定義出發，在準確的概念與嚴密的邏輯基礎上層層疊疊，不斷在深度與廣度上發展。各向齊茂，形成一棵參天大樹。
      在《高等數學》中，出發點處就有函數，極限，連續，可導，可微等重要概念。
      在《線性代數》的第一知識板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識板塊中，則是矩陣的特征值與特征向量。
      在《概率統計》中，第一重要的概念是分布函數。不過，《概率》不是第一層次基礎課程。學習《概率》需要學生有較好的《高等數學》基礎。
      非數學專業的本科學生大多沒有概念意識，記不住概念。更不會從概念出發分析解決問題。基礎層次的概念不熟，下一層次就云里霧里了。這是感到數學難學的關鍵。
      大學數學教學目的，通常只是為了滿足相關本科專業的需要。教師們在授課時往往不會太重視，而且也沒時間來進行概念訓練。
      考研數學目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導課上，往往會有學生莫名驚詫，“與大一那會兒學的不一樣。”原因就在于學過的概念早忘完了。
      做考研數學復習，首先要在基本概念與基本運算上下足功夫。

      按考試時間與分值來匹配，一個4分的選擇題平均只有5分鐘時間。而這些選擇題卻分別來自三門數學課程，每個題又至少有兩個概念。你的大腦要飽受交混回想的檢驗。你可以由此體驗選拔考試要求你對概念的熟悉程度。
      從牛頓在碩士生二年級的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻浩如煙海，知識千錘百煉。非數學專業的本科生們所接觸的，只是初等微積分的一少部分。方法十分經典，概念非常重要。學生們要做的是接受，理解，記憶，掌握計算方法，學會簡單推理。首先是要記得住。
      你要玩好游戲，你也得先了解游戲規則，把它記得滾瓜爛熟啊。
   你要考得滿意嗎？基點不在于你看了多少難題，關鍵在于你是否對基本概念與基本運算非常熟悉。
      數學專業的學生面壁苦修的一個方式是畫“聯絡圖”。每學完一章，抽一定時間復習小結，靜心地用筆理線索。
先默寫出各個定義，中心定理，輔助定理，簡單結論，思考其相互關系。再回顧主要定理證明 —— 關鍵步驟是哪步，有無特色細節，可否模仿。哪些可以收編為練習。條件能否削弱，有無相應反例。在主要參考書上，有沒有更細化的評注或說明或應用。
      有沒有重要算法與公式。如果有，是否有前提條件，是否要判斷分類，……。
      這是一個下意識的系統消化手段，也是一個有效的記憶方法。記住了而還沒有消化好的內容，則一點一點地成為定向思維的材料。
      當然要做題。有了一定的知識準備后，首先做教科書習題。演練簡單的題目，體念并熟悉概念與公式。剖析復雜的題目，了解如何綜合考查自己，學習分步邏輯推理。把典型題目與相關概念或定理或典型方法歸納記憶在一起。進一步做參考書及資料上的題，感受了解考研題目如何考查自己。逐漸形成用“獵奇”的眼光去挑選典型題目的能力

      數學專業的學生面壁苦修的又一個方式是積累一個“材料庫”。盡可能熟悉課程討論的基本對象。就如我將在講解時（微積分部分）推薦的， “三個典型的（極限）不存在”，“x 趨于+∞ 時，指數函數，冪函數，對數函數的無窮大階數比較。”“三個典型的不可導”，“四個典型的不可積”，……，等等。
      概念記得越準確，觀察判斷的眼光越犀利。基本定理，基本方法記得越清晰，分析題目時方向越明白。
      當你面對一個題目時，你的自然反應是，“這個題目涉及的概念是 ……”，而非“在哪兒做過這道題”，才能算是有點入門了。

      講座（2）筆下生花花自紅
      在愛搞運動的那些年代里，數學工作者們經常受到這樣的指責，“一支筆，一張紙，一杯茶，鬼畫桃符，脫離實際。”發難者不懂基礎研究的特點，不懂得考慮數學問題時“寫”與“思”同步的重要性。
      也許是計算機廣泛應用的影響，今天的學生們學習數學時，也不太懂得“寫”的重要性。考研的學生們，往往拿著一本厚厚的考研數學指導資料，看題看解看答案，或看題想解翻答案。動筆的時間很少。
      數學書不比小說。看數學書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。
      科學的思維是分層次的思維。求解一個數學問題時，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實實地考慮如何邁出第一步。
      或“依據已知條件，我首先能得到什么？”（分析法）；
      或 “要證明這個結論，就是要證明什么？”（綜合法）。
      在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是一個簡單的例。
   “連續函數與不連續函數的和會怎樣？”
      寫成 “連續A + 不連續B = ？”后就可能想到，只有兩個答案，分別填出來再說。（窮盡法）。
      如果，“連續A + 不連續B = 連續C”    則 “ 連續C -連續A = 不連續B”
這與定理矛盾。所以有結論：連續函數與不連續函數的和一定不連續。

      有相當一些數學定義，比如“函數在一點可導”，其中包含有計算式。能否掌握并運用這些定義，關鍵就在于是否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，
      題面上有已知條件  f ′(1) > 0  ，概念深，寫得熟的人立刻就會先寫出
                     h 趨于0 時， lim( f(1+h) - f(1）) / h > 0
然后由此自然會聯想到，下一步該運用極限的性質來推理。而寫不出的人就抓瞎了
      又比如《線性代數》中特征值與特征向量有定義式Aα=λα，α≠ 0，要是移項寫成（A-λE）α= 0，α≠ 0，
      這就表示α是齊次線性方程組（A-λE）X = 0 的非零解，進而由理論得到算法。
      數學思維的特點之一是“發散性”。一個數學表達式可能有幾個轉換方式，也許從其中一個方式會得到一個新的解釋，這個解釋將導引我們邁出下一步。
      車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫一步，觀測分析邁下步。路只能一步步走。陳景潤那篇名揚世界的“1+2”論文中有28個“引理”，那是他艱難地走向輝煌的28步。

      對于很多考生來說，不熟悉基本計算是他們思考問題的又一大障礙。
   《高等數學》感覺不好的考生，第一原因多半是不會或不熟悉求導運算。求導運算差，討論函數的圖形特征，積分，解微分方程等，反應必然都慢。
   《線性代數》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達形式，那是學好線性代數的訣竅。好些看似很難的問題，選擇一個分塊變形就明白了。
   《概率統計》中，要熟練地運用二重積分來計算二維連續型隨機變量的各類問題。對于考數學三的同學來說，二重積分又是《高等數學》部分年年必考的內容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。
      要考研嗎，要去聽指導課嗎，最好先自己動筆，盡可能地把基本計算練一練。
      經濟類考生還格外有個“短板”。就是不熟悉《解析幾何》。要先下點功夫，做到能熟練地建立平面直角坐標系下的直線方程（點斜式，兩點式），求兩條直線的交點，隨意能畫出基本初等函數的圖形等等。
      我一直向考生建議，臨近考試的一段時間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時間內作某年研考的全巻。中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底。看看成績多少。不要以為你已經看過這些試卷了。就算你知道題該怎么做，你一寫出來也可能會面目全非。
      多動筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅。

      講座（3）拓撲預備說質變
      高等微積分（《數學分析》）的第一章，講實數的完備性。即全體實數與數軸上的點成功一一對應。于是我們從此“點”“數”不分。
      數軸的一段稱為區間。區間是特殊的數集。為了方便起見，通常也把半直線說成區間。
      記數軸的右端趨向為 +∞（正無窮大），左端趨向為 ?∞（負無窮大）。有的數學分支虛擬了一個 ∞ 點，把直線說成是半徑無窮大的園。+∞ 與 ?∞ 則是這個虛擬點的兩側。
      不含端點的區間叫開區間。以點 x0 為中心的開區間稱為x0的鄰域。歷史上約定，說“在點x0的鄰近，……”，就是指“在點x0的某個鄰域內，……”。
   （畫外音：開區間的拓撲定義是，開區間任意一點，總有至少一個鄰域，全含于這個開區間內。）
      一元微積分的拓撲基礎是區間。建立在區間基礎上的積分叫“黎曼積分”。
      自然數集與區間都是含有無窮個數的數集，但兩者也有差別。
      從有限到無窮，這是質變。
      只含有限個數的數集，一定有最大及最小的數，而無窮集則不一定。比如自然數集有最小值而沒有最大值。數集（0，1）則既沒有最小值，也沒有最大值。
      兩個有限集相比時，一定可以分出，誰含有的數較多。而無限集之間不能這樣比。只能看兩個無限集是否能建立一一對應關系。如果兩個無限集之間能建立一一對應，則稱這兩個數集屬于同一級別。（專業詞：有同樣的“勢”。）相當于說這兩個數集所含有的數“一樣多”，
      很有趣也很哲學的是，通過對應 2n → n ，“偶自然數集”可以與“自然數集”建立一一對應。即它們屬于同一級別。這表明，無限集的真子集可以與全集建立一一對應，而有限集顯然不行。
      能與自然數集建立一一對應的無限集，稱為可列集。可列集中的全體數，可以與自然數對應排成一個“序列”：
                        x1 ，x2 ，…… ，x n ，……
            每個不可列的無限集，都一定能與數集（0，1）建立一一對應。
      這樣一來，從含有數的“多少”意義來看，只有兩類無限集。可列集或不可列集。
      最令人吃驚的是，盡管有理數具有稠密性，即任意兩個實數之間必定至少有一個有理數，但是全體有理數是一個可列集。實軸上幾乎全是無理數。
   （畫外音：一個小數學實驗——可列集的“測度”
      讓我們用一個個小區間來順次“包裝”可列集的點。第1個小區間長δ/2，裝入x1 ，第2個小區間長δ/4，裝入x2 ，第3個小區間長δ/8，裝入x3 ，……，第n個小區間長δ / （2的n次方，裝入x n ，……，按照一一對應方式，將可列集的點全體點，裝入了可列個小區間內。各個小區間的長，順次組成公比為1/2的無窮遞縮等比數列，因而可以算得這可列個小區間的總長為δ，由于δ可以取成任意小的正數，因而這個實驗說明了，把一個可列集的點“擠”著排起來，也不會在數軸上占有長度。用數學專業用語說，可列集的“測度”為0，所以實軸上幾乎全是無理數。）

      講座（4）函數討論先“微觀”
      微分學研究函數。函數是描述過程的最簡單的數學模型。
      定義 —— 任給定義域內一點x，通過某一對應規律，有唯一確定的y 值與之對應，就稱變量y是變量x的函數。記為 y = f（x）
      所謂“對應規律”，可能是解析表達式，這是我們所常見的。
      可能是一句話顯示的規定。例如，絕對值函數 y = | x |，取整函數 y = [x] ，（y = 不超過x的最大整數）
也可能是表格等方式，……，在高數學習過程中，還有含參極限，變上限積分，級數等方式。
      定義中的“唯一確定”，排斥了多值情形，有利于討論反函數。
      美國，臺灣的微積分教材都不出現反三角函數。由于三角函數是周期函數，反三角函數需要選定對應區間，以保證反三角函數值能“唯一確定”。其中，
               y = arcsin x  ， ?1 ≤ x ≤ 1    ，? π / 2 ≤ y ≤ π / 2
                                 y = arctg x  ， x可為任意實數，? π / 2 ≤ y ≤ π / 2
            記法“y = f（x）”有雙重含義。理解x為定義域內任意一點，它表示這個函數。理解x為定義域內一點（相對不變），它表示相應的函數值。在函數概念的深化討論中，常常用到后一理解。
      我們早已接觸了六類基本初等函數 —— 常函數，冪函數，指數函數，對數函數，三角函數，反三角函數。
   （畫外音：圈內戲稱為“反，對，冪，指，三”。不如直接記兩對加一“冪”。）
      初等函數 —— 由六類基本初等函數通過有限次四則運算或有限次復合所生成的，且由一個數學式子所表示的函數，統稱為初等函數。
      這個定義有可能使得函數的定義域是一個可列集。比如，y = √（cos2x?1），一般教材上會說，我們所討論的函數，其定義域是區間或區間的并。
      大學數學還讓學生學習兩類“分段函數”。或是在不同的定義區間內，分別由不同的初等函數來表示的函數；或者是有孤立的特別定義點的函數。

      微分學研究函數的特點，是先做微觀分析。即討論函數的連續性，可導性，可微性。再通過函數的導數來宏觀地研究函數的圖形特征。即單調性，有界性，奇偶性，周期性等。
      所謂“微觀分析”，即是任取一點x0 ，討論及描述函數的相對變化。
      選定一個中心點x0，從坐標的角度講，可以看成是把原點平移；從物理角度說，是給定一個初始點；從觀察角度議，是選好一個邊際點。把動點x在x0鄰近變動稱為“自變量x（在x0處）獲得增量Δx”。
   （潛臺詞：關鍵詞 “增量”，既是一個詞，又是一種新的思維方式。）

      微量分析考慮的問題是：
      在x0點鄰近，如果自變量x有一個增量Δx，則函數相應該有增量 Δy = f（x0+Δx）- f（x0）
      鑒于函數的任意性與復雜性，“減號”只能表示事實，沒有一般的計算意義。我們如何表述，研究或估計這個Δy 呢？
      第一考慮自然是變化關系。當Δx → 0時，Δy 會有什么變化趨勢呢？三種可能，Δy或趨于0，或不趨于0，或沒有一定的趨向。
      如果Δx → 0時，必有Δy → 0，就稱函數在x0點連續。
      第二考慮是“變化率”。中國人把除法稱為“歸一法”。無論Δx的絕對值是多少，商式Δy/Δx的含義總是，“當自變量變化一個單位時，函數值平均變化多少。”
            有了極限觀念，自然會考慮，當Δx → 0時，函數的平均變化率Δy/Δx有什么變化趨勢呢？兩種可能，或者極限存在，或不存在。
      如果Δx → 0時，Δy/Δx有極限，就稱函數在點x0可導。稱極限值為函數在點x0的導數。
      請看看，“連續”與“可導”的概念，出現得多么自然啊。這理的關鍵是極限觀念。我們中國人在極限問題上先天不足。學了微積分，知道從有限到無窮是質變。牽涉“無窮”的問題都得用極限工具。形成一點極限思維，那就是很大的收獲。
      函數在區間上每一點連續，就稱函數在區間上連續。函數在區間上每一點可導，就稱函數在區間上可導。所產生的對應關系稱為該函數的導函數。
      微積分以中值定理為“橋粱”，用導函數討論函數的宏觀特征。這是一元微分學的基本目的。因此，可導性討論與導數計算是第一基礎。
      考研復習《高數》的第一任務，是基本上理解導數定義并能作簡單的定義討論，最重要的是能熟練地求各類函數的導數。
      導數定義作用于基本初等函數，生成一套有序的求導公式。伴隨著初等函數的結構順序，《高等數學》建立了“和，差，積，商函數求導法則”與處理復合函數的“鏈鎖法則”。進而還有“取對數求導法”，“用參數式表述的函數求導法”，“隱函數求導法”，“分段函數求導法”，……，等等。一切函數皆可討論可導性，計算導數。練習求導，實在可行。
      嫻熟地計算與討論導數，是討論函數宏觀特征，乃至比較與估計定積分的前提與手段。導數好，則心有靈兮一點通，求不定積分，解微分方程，……，必定是處處反應特好。要先練完教材上的求導練習，再買本《高等數學》習題集，做完全部求導題。練！練！練！讓你明年開春復習提高時，運算障礙最少。
   （畫外音：回憶一下吧。小時候，九九表你背了用了多少年？！初中時，有理數運算算了多少年？！中學里，代數式運算你又算了多少年？！而學習微積分，你花了多少時間作求導計算？！自己就明白高數差的基本原因之所在了。）

      講座（5）極限概念要體驗
      極限概念是微積分的起點。極限首先是個觀念。面對“沒完沒了”的過程，用什么方法去準確描述與討論變量的發展趣勢？自然是極限。只能是極限。
      說起極限概念的歷史，學數學的都多少頗為傷感。
      很久很久以前，西出陽關無蹤影的老子就體驗到，“一尺之竿，日取其半，萬世不竭。”
            近兩千年前，祖氏父子分別用園的內接正6n邊形周長替帶園周長以計算園周率；用分割曲邊梯形為n個窄曲邊梯形，進而把窄曲邊梯形看成矩形來計算其面積。他們都體驗到，“割而又割，即將n取得越來越大，就能得到越來越精確的園周率值或面積。”
            國人樸實的體驗延續了一千多年，最終沒有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這一點上率先突破。
      極限概念起自于對“過程”的觀察。極限概念顯示著過程中兩個變量發展趨勢的關聯。
      自變量的變化趨勢分為兩類，一類是x → x0  ；一類是x → ∞
            討論x → x0  的情形，通常設x不會取到x0 ，這樣一來，你可以體驗到，x → x0  的過程，和x → ∞一樣“沒完沒了”。
      無論哪一種情形，我們都不會考慮x從何處出發，也不會考慮x具體如何趨于x0或趨向無窮。是蛙跳般不停不息，或是左右左右搖搖擺擺，還是連續地一步一趨？如果真的選擇連續地一步一趨方式，對x0來說只有從左側或右側兩種逼近方式。對x → ∞而言，則有直接向 +∞ 或直接向 ?∞ 兩種趨向。通常稱這為“兩條道路”，其它形式統稱為“子路徑”。
      “當自變量有一個特定的發展趨勢時，相應的函數值是否無限接近于一個確定的數a ？”如果是，則稱數a為函數的極限。
      “無限接近”還不是嚴密的數學語言。但這是理解極限定義的第一步，最直觀的一步。
學習極限概念，首先要學會觀察，了解過程中的變量有無一定的發展趨勢。學習體驗相應的發展趨勢。其次才是計算或討論極限值。

      自然數列有無限增大的變化趨勢。按照游戲規則，我們還是說自然數列沒有極限。
      我們早有經驗，“若分子不變，而分母的絕對值越來越大，則分數的絕對值只會越來越小。”由此即可以體驗到，  自然數n趨于無窮時，數列1/n 的極限是0 ；x趨于無窮時，函數1/x 的極限為0 ；進而得到第一個求極限的方法：
   “x → ∞，要考查一個有理分式函數（即：多項式 / 多項式）的變化趨勢，將分子分母同除以分式中出現的x最高次方。再分別觀察各項。”
         （畫外音：我稱之為“化零項法”處理∞/∞型未定式。）

      回顧我們最熟悉的基本初等函數，最直觀的體驗判斷是， x 趨于正無窮時，正指數的冪函數都與自然數列一樣，無限增大，沒有極限。
      x 趨于正無窮時，底數大于1的指數函數都無限增大，沒有極限。底數大于0而小于1的指數函數則無限接近于0
            x → 0+ 時，對數函數lnx 趨于 -∞ ；x趨于正無窮時，lnx無限增大，沒有極限。
      x →∞ 時，正弦sinx 與余弦cosx 都周而復始，沒有極限。在物理學中，正弦 y = sinx的圖形是典型的波動。
      我國《高等數學》教科書上普遍都選用了“震蕩因子”y = sin（1/x）。當x趨于0時它沒有極限的原因是震蕩。你體驗過它的震蕩嗎？？？
      具體想來，當x 由 0.01變為0.001時，只向中心點x = 0靠近了一點點，而中間變元 u = 1/x 的跨步卻長達900個單位，正弦 sin u 相應完成了140多個周期。函數的圖形在 +1與-1之間上下波動140多次。你可以進一步體驗下去，想想在x = 0的鄰近，函數各周期的圖形是多么“緊緊地擠”在一起，象是一片“電子云”。
      當年我研究美國各大學的《高等數學》教材時，曾看到有的教材竟然把函數y = sin（1/x）的值整整印了一大頁，他們就是要讓學生更具體地體驗它的數值變化。
      用“震蕩因子”能生出很多怪例。我的導師陳慶益先生愛說，怪例更深刻地揭示自然。
      x  → 0時，（1/x）sin（1/x）不是無窮大。直觀地說就是函數值震蕩而沒有確定的發展趨勢。1/x →∞ ，它為虎作倀，讓震蕩要多瘋狂有多瘋狂。
   （畫外音：讓我們分別取兩個“子過程”來觀察。取x = 1 / 2nπ ，相應的函數值列是0數列，
又取 x = 1 / （2nπ + π / 2），相應的函數值列是2nπ + π / 2，趨向 +∞ ，你能否體會到劇烈的震蕩。）
      x → 0時，顯然有 0 ≤ | xsin（1/x）| ≤ | x | ，夾逼著 xsin（1/x）→ 0 ，你可以體驗x好比是個“摩擦因子”，讓震蕩慢慢消失。實際上“摩擦因子”可以是 x的δ次方，δ是適當小的正數。有摩擦震蕩就會最終平息。
      能夠翻閱《分析中的反例》的同學可以在其目錄頁中看到，很多反例都用到了震蕩因子。

      在同一個過程中，如果有多個變量趨于0，（或絕對值無限增大。）那更深入一步的體驗是，它們的絕對值變小（或變大）的速率是一樣呢還是不同的？
      我們早就有初等數學知識，“若0 < x < 1，則對同一個x，冪次n越高，冪函數 x的 n 次方值越小。”由此可以粗略體驗到，趨于0的各個變量，其絕對值變小的速率可能是不同的。可能有的函數趨于0時 “跑得更快”。這在理論上促成了“高階”，“低階”概念。

      考研數學還要要求學生對極限有更深刻的體驗。
      多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語言，（即ε–δ語言）。沒有這套語言，我們沒有辦法給出極限定義，也無法嚴密證明任何一個極限問題。比如前述的最簡單結論，“x趨于無窮時，函數1/x的極限為0 ”；但是，這套語言是高等微積分的內容，非數學專業的本科學生很難搞懂。數十年來，考研試卷上都沒有出現過要運用ε–δ語言的題目。研究生入學考題中，考試中心往往用更深刻的“符號體驗”來考查極限概念。這就是
   “若x 趨于∞ 時，相應函數值 f（x）有正的極限，則當∣x∣充分大時，(你不仿設定一點x0，當∣x∣> x0時，) 總有 f（x）> 0  ”
   *“若x 趨于x0時，相應函數值 f（x）有正的極限，則在x0 的一個適當小的去心鄰域內，f（x）恒正”
      這是已知函數的極限而回頭觀察。逆向思維總是更加困難。不過，這不正和“近朱者赤，近墨者黑”一個道理嗎。

      除了上述苻號體驗外，能掌握下邊簡單的數值體驗則更好。
      若x趨于無窮時，函數的極限為0，則x的絕對值充分大時，(你不仿設定一點x0，當∣x∣>x0時，) 函數的絕對值恒小于1
         （潛臺詞：為什么是“1”，簡單方便！換個別的正數也可以。）
      若x趨于無窮時，函數為無窮大，則x的絕對值充分大時，(  你不仿設定一點x0 ，  當∣x∣>x0時，) 函數的絕對值全大于1
         *若x趨于0時，函數的極限為0，則在0的某個適當小的去心鄰域內，或x的絕對值充分小時，函數的絕對值全小于1
         （你不仿設定有適當小的數δ＞0，當0<∣x∣<δ時，函數的絕對值全小于1 ）
      沒有什么好解釋的了，你得反復領會極限概念中“無限接近”的意義。你可以試著理解那些客觀存在，可以自由設定的點x0，或充分小的數δ＞0，并利用它們。

講座（6）無窮小與無窮大
      微積分還有一個名稱，叫“無窮小分析”。
      1. 概念
      定義 —— 在某一過程中，若函數 f（x）的極限為0，就稱 f（x）（這一過程中）為無窮小。
      為了回避ε–δ語言，一般都粗糙地說，無窮小的倒數為無窮大。
      無窮小是個變量，不是0 ；是在中心點，過程，0極限背景下，我們給特定函數的稱呼。
      y = 0視為“常函數”，在任何一個過程中都是無窮小。但這是平凡的，沒有實際意義。通常被排除在討論之外。
      依據極限定義，無窮大不存在極限。但是為了強調在變化過程中，變量有絕對值無限增大的趨勢，歷史上約定，“非法地”使用等號來表示無窮大，以記述這個特點。比如
      x從右側趨于0時， lim lnx = -∞                x從左側趨于π/2時  ， lim tgx = +∞
            (潛臺詞：僅僅表明其絕對值有無限增大的趨勢，并不表示極限存在。)

            2.無窮大與無界變量
      無窮大與無界變量是兩個概念。
      無窮大的觀察背景是過程，無界變量的判斷前提是區間。
      無窮小和無窮大量的名稱中隱含著它們（在特定過程中）的發展趨勢。而無界變量的意思是，在某個區間內，其絕對值沒有上界。
      在適當選定的區間內，無窮大可以是無界變量。
            y = tgx（在x →π/2左側時）是無窮大。在（0，π/2）內 y = tgx 是無界變量
      x 趨于0時，函數 y =（1/x）sin（1/x）不是無窮大，但它在區間（0，1）內無界。
      不仿再用高級語言來作個對比。任意給定一個正數E，不管它有多大，當過程發展到一定階段以后，無窮大量的絕對值能全都大于E ；而無界變量只能保證在相應的區間內至少能找到一點，此點處的函數絕對值大于E 。
      3. 運算與比較
      有限個無窮小量的線性組合是無窮小；“∞-∞”則結果不確定。（未定式！）
      乘積的極限有三類可以確定：
      有界變量?無窮小 = 無窮小    無窮小?無窮小 = （高階）無窮小
      無窮大?無窮大 = （高階）無窮大
      其它情形都沒有必然的結果，通通稱為“未定式”。
      例1 作數列  x  = 1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
            y  =  0，1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
            兩個數列顯然都無界，但乘積xy 是零數列。這表示可能會有  無界?無界 = 有界！！！！！！！！！！！

      兩個無窮小的商求極限，既是典型的未定式計算，又有深刻的理論意義。即“無窮小的比較”。如果極限為1，分子分母為等價無窮小；極限為0 ，分子是較分母高階的無窮小；極限為其它實數，分子分母為同階無窮小。
      無窮大有類似的比較。
      無窮小（無窮大）的比較是每年必考的點。
      x趨于0時，α = x sin（1/x）和β = x都是無窮小，且顯然有∣α∣≤∣β∣；但是它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒有極限。兩個無窮小不能比較。這既說明了“極限存在”是“比較”的前提，又再一次顯示了震蕩因子sin（1/x）的用途。
      更有意思的是，若 γ == x 的k次方，則無論 k = 0.9 , 還是k = 0.99, k = 0.999,……，α總是比γ高階的無窮小。

      回到基本初等函數，我們看到
      x趨于 +∞ 時，y = x的μ 次方，指數μ＞0的冪函數都是無窮大。且習慣地稱為 μ階無窮大。
      （潛臺詞：這多象汽車的1檔，2檔，--- 啊。）
      x趨于 +∞ 時，底數a大于1的指數函數 y = a 的x 次方    都是無窮大；底數小于1的都是無窮小。
      x趨于 +∞ 或 x 趨于0+ 時，對數函數 y = lnx 是無窮大。
      x 趨于∞ 時，sin x 及 cos x 都沒有極限。    正弦，余弦，反三角函數都是有界變量。

      請體驗一個很重要也很有趣的事實。
   （1） x → +∞ 時，  lim（ x 的n次方  ∕  e的 x 次方） =  0  ，這表明：
      “x趨于 +∞ 時，指數函數e xp（x ）是比任意高次方的冪函數都還要高階的無窮大。”
   （2） x → +∞ 時，  lim（ ln x  ∕ x的δ 次方）= 0； δ是任意取定的一個很小的正數。這表明：
            “對數函數 ln x是比 xδ 都還要低階的無窮大。”

      只需簡單地連續使用洛必達法則就能求出上述兩個極限。它讓我們更深刻地理解了基本初等函數。如果只知道極限值而不去體驗，那收獲真是很小很小。
      例2    函數f (x) = xsinx ，則
         （A）當x →∞ 時為無窮大。（B）在（-∞，+∞）內有界。
                  （C）在（-∞，+∞）內無界。  （D）在x → ∞ 時有有限極限。
      分析這與 y =（1/x）sin（1/x）在x趨于0時的狀態一樣。    （選（C））
      例3  已知數列 x n和y n 滿足 n → ∞ 時，lim x n y n = 0 ，則
      （A）若數列x n發散，數列y n必定也發散。（B）若數列x n無界，數列y n必定也無界。
      （C）若數列x n有界，數列y n必定也有界。（D）若變量1 ∕ x n為無窮小量，則變量y n必定也是無窮小量。
      分析  盡管兩個變量的積為無窮小，我們卻無法得到其中任何一個變量的信息。例10給了我們一個很好的反例。對本題的（A）（B）（C）來說，只要y n是適當高階的無窮小，就可以保證lim x n y n = 0
            無窮小的倒數為無窮大。故（D）中條件表明x n為無窮大。
      要保證lim x n y n = 0  ，y n 必須為無窮小量。應選答案（D）。

《線性代數》——
   （37）欲說《線代》先方程
      初等數學以引入負數為起點，以方程為其重心之一。
      最簡單的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解”。
      什么東東叫一個方程（組）的根 —— 把東東代入這個方程（組），方程（組）化為恒等式。這個概念是學習《線性代數》的基本需要。不少人讀到“齊次線性方程組有限個解的線性組合，仍然是該方程組的解”感覺盲然沒反應，一是忘了概念，二是不動筆。應對這些貌似理論的語句，其實方法很簡單。是不是“解”，代入方程（組）算一算。
（潛臺詞：關鍵是要勤動筆。）
      由一元一次方程出發，關于方程的研究向兩個方向發展：
   （1）一元n次方程
   （2）n 元一次方程組（線性方程組）
      大學數學《線性代數》教材有兩大板塊。第一板塊解線性方程組。基本工具是矩陣，核心概念是矩陣的秩，理論重心是“齊次線性方程組解集的構造”。第二板塊是矩陣特征理論基礎知識，在更高層次討方陣及其應用。
      n 階方陣 A 的特征方程是個一元 n 次方程。
      一元n次方程的討論點為：求根公式，根的個數，根與系數的關系。
      一元二次方程有求根公式，在復數范圍內有兩個根。（二重根算兩個根。）有韋達定理顯示根與系數的關系。
      從十六世紀到十八世紀，人們努力探索了近兩百年，也沒能找到一元五次方程及五次以上方程的求根公式。回頭又花去整整六十年，才證明了所期盼的求根公式不存在。以后在理論方向發掘，又證明了
      “一元n次方程在復數范圍內有n個根。”（k重根算k個根。）
      還同樣找到了高次方程的 “韋達定理”。

      對線性方程組的討論則衍生出若干基本理論。可以合稱為線性理論。依靠著完美透徹的線性理論，所有的線性問題（線性方程組，線性微分方程組，……）都得到了園滿解決。
      在研究非線性問題時，人們找到了“有限元”，“邊界元”等線性化計算方法。但是一個非線性問題用線性化計算方法產生的齊次線性方程組可能有成千上萬個方程。這樣一來，方程組的表達方式自然就上升為首要問題。
      描述一個齊次線性方程  a1x1 + a2x2 + --- + a nx n = 0 ，實際上只需按順序寫出它的系數組就行了。這就產生了形式上的 n 維向量（a1，a2， …… ，an）。
      方程組的兩種同解變換，即“方程兩端同乘以一個數”與“兩個方程相加（減）”，正好相應照“數乘向量”與“向量加法”。

      如果是有m個方程的齊次線性方程組，則m個系數行就排成一個m×n階矩陣。
      如果把 n 個未知量也按順序排成一個向量，（x1，x2， …… ，x n），則每個方程的左端
“a1x1 + a2x2 + --- + a n x n” ，正好是，系數向量與未知量向量的 “對應分量兩兩相乘，加在一起”。數學家們把這個計算方式規定為“向量的內積（數量積）”。進而規定出“矩陣的乘法”。

      運用有限元方法轉換模型時，要多方交互使用每個節點處的數據。這就不可避免地會產生一個負面效應。即所得齊次線性方程組中可能有相當數量“多余的”方程。（如果用幾個方程的左端作線性組合，可以得到組內別的某個方程，那個方程就會在同解變換中化為恒等式。所以是“多余的”方程。）這就產生了第二個問題：
      “一個齊次線性方程組中，究竟有多少個方程是相互獨立的？”
            由此有相應概念 —— 矩陣的秩，n維向量組的秩。

      解決一個復雜的數學問題，往往需要發展一門甚至多門基礎理論。人類的最終收獲，常常是遠遠超越問題本身。歐洲歷史上有很多理髮師與鐘表匠熱衷于數學研究。中國民間也有大量的數學愛好者。中國數學協會常常收到很多諸如“證明哥德巴赫猜想”之類的民間論文，無人敢于拜讀只能束之高閣。作者們責難專家們為什么不能幫幫老百姓。回答曰，解決這樣巨難的數學問題，必然需要新的基礎理論。沒有這個前提，你的證明自然是錯的。
      知道一點實際背景，會感到一切都自然而然。因為需要而創生新的描述方式；因為需要而定義新的概念；因為需要而“規定”集合中的運算；…… 。愿這能有助于你減少一點抽象感。

   （38）提升觀念學集合
      數學所說的集合，往往依賴“數”或“形”而生。隱含集合中的“元素”有一定的共性特征。
      1. 集合與線性運算
   《線性代數》的基本研究對象是矩陣集合 —— 全體m × n階矩陣 —— m n個元所排成的矩形陣列。
      n 階方陣是矩陣集合最重要的子集合。
      在我們學習范圍內，n 階方陣有兩個特殊的重要的子集合：
      滿秩方陣 —— （下含）正交陣，對稱陣 —— （下含）正定陣
      n維向量集合就是全體n元有序數組（a1，a2，-----，a n）。有時候也把n維向量看成特殊的矩陣，即（n × 1）階行矩陣或（1 × n）階列矩陣。
      矩陣集合與n 維向量集合上都定義了“數乘”與“加法”。
      在微分學中，常用集合記號C[a，b] 表示區間 [a，b] 上的全體連續函數。用C1（a，b）表示在區間（a，b）上有連續的一階導數的全體函數。…… ，用C∞（a，b）表示在區間（a，b）上任意階可導的全體函數。只不過一般《高等數學》教材上都沒有引入這些記號。
      研究函數集合時，首先考慮的也是“數乘”與“加法”。
      “數乘”與“加法”合稱為線性運算。由于有負數，因而“加法”實際上包含了通常的減法。人們在討論一般的集合時，往往都希望能在集合中定義線性運算。
      集合中的若干個元素既作數乘又作加法，稱為這些元素作“線性組合”。學到這個地步，要會體驗數學式的雙重含義。一個線性組合式，它既表示相應的運算過程，又代表整個運算的結果。說“向量的線性組合”，有時就指的是線性運算最終所得到的向量。還比如：
      有限個無窮小量的線性組合是無窮小量。（“線性組合”表示運算結果）
      有限個連續函數的線性組合連續。有限個可導函數的線性組合可導。
                  ……    ……    ……    ……
   （畫外音：也不要隨口說啊。無窮大的線性組合不一定是無窮大。“∞ - ∞” 是未定式。）
      對于一個集合，我們既要考慮能否定義線性運算，又還要進一步考慮，這個集合對于線性運算是不是“封閉”的。即集合中的任意有限個元素的線性組合，是否還屬于這個集合。是！我們就說“集合對于線性運算是封閉的。”高一個層次的理論中，這是集合能否被稱為“線性空間”首要條件。
      顯然，m × n階矩陣集合，n 維向量集合，C[a，b] 函數集合，C k（a，b）函數集合，對于線性運算都是封閉的。

      2.向量內積與矩陣乘法
      由于理論或應用的需要，人們經常需要考慮在集合上定義更特殊的“運算”。這些“運算”在觀念上要比四則運算高一個層次。本質上是人為規定的，集合中任意兩個元與唯一的“第三者”的特殊對應規律。高級語言稱之為集合上的一個“二元關系” 。
      內積是n維向量集合上的一個“二元關系”—— 兩個n維向量對應唯一確定的一個數。即
      對任意兩個n 維行向量  α = (α1, α2, … ，αn) , β = (β1,β2 ,… ，βn) , 規定
               內積 α?β = αβˊ=  α1β1 + α2β2 + … + αnβn （ = β?α）
   （畫外音：喜歡口訣嗎？左行右列作內積。對應分量積相加。）
      內積又叫數量積。定義內積是深化討論的常用手段，理論背景深遠，應用范圍廣闊。比如，更高層次的討論中，在C[a，b] 函數集合上定義內積為       內積（f，g）= 積函數f（x）g（x）在[a，b]上的定積分
      《線性代數》教材中通常把n維向量設為列向量。借助于列向量可以把m×n階矩陣A表示為
                  A = (a1，a2，…，a n ) ，稱為矩陣 A 的列分塊式。
其中，列向量  a1 = ( a 11，…，a n 1 ) ˊ，…… ，  a n  = ( a 1n ，… ，a n n ) ˊ
      如果把每個列塊視為一個元素，可以說 A = (a1，a2，… ，a n) 是一個“形式向量”。這個觀念對學習《線性代數》大有好處。比如，讓“形式向量”與未知列向量x作“形式內積”，可以把齊次線性方程組 A x = 0 改寫為
               (a1，a2，… ，a n) （x1，x 2，… ，x n）ˊ= 0
即                      x1 a1+ x 2 a2 +……+ x n a n  =  0
            后面將會利用這個形式轉換，把“（列）向量組的線性相關性”與“齊次線性方程組有無非零解”相連系。

      矩陣乘法是矩陣集合上的一個“二元關系” 。它的計算基礎是向量內積。具體規定為 ——
m×n 階矩陣A（a i j）與n×s 階矩陣B（b i j）可以有乘積矩陣AB =（c i j），
      AB是m×s階矩陣，它的元素c i j 具體為    c i j  =  A的第i 行與B的第 j 列的內積。
即       c i j  =  a i 1b j1 + a i2 b j 2 + … + a i n b j n ，1≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ s
階數規則（m×n）（n×s）=（m×s），保證“左行右列作內積”可行。

      最特殊的兩種情形是（m×1）（1×s）=（m×s）與  （1×n）（n×1）=（1×1）
后一情形就是兩個向量作內積。

      進一步有分塊矩陣乘法。
      按照應用需要，《線性代數》常常會將矩陣變化為某種分快形式。并實施矩陣乘法。較常見的是變化矩陣為列分塊式或行分塊式。
      要分塊矩陣乘法可行，必須要在“宏觀”與“微觀”兩方面都確保可乘。
      宏觀可乘：把各分塊看成一個元素，滿足階數規則。
      微觀可乘：所有要相乘的子塊，全都滿足階數規則。

      乘法變形1. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×1）（1×s）=（1×s）
         AB = A（b1，b 2，…，b s）=（A b 1，A b 2，…，A b s）
      宏觀可乘：各分塊看成一個元素，滿足階數規則（1×1）（1×s）=（1×s）
      微觀可乘：對應相乘的子塊 A b j 都滿足：（m×n）（n×1）=（m×1）

      乘法變形2. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×1）（1×s）=（m×s）
      AB =（A的行分塊式）（B的列分塊式）
      這個分塊乘積式顯式了矩陣乘法與內積的關系。積矩陣AB 的每一個元都是內積形式。

      乘法變形3. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×n）（n×s）=（1×s）
            AB =（a1，a 2，…，a n）（b i j）
               =（a 1 b 11 + a 2 b 21 + … + a n b n1 ，…，a 1 b 1n + a 2 b 2 n + … + a n b n n）
      乘積AB具列分塊式。且它的各列都是A的列向量的線性組合。

      乘法變形3 的特殊情形就是“形式內積”。（1×n）（n×1）=（1×1），考研數學題要求你會逆向還原：
         c1 a1+ c 2 a2 +……+ c n a n  =  (a1，a2，… ，a n) （c1，c 2，… ，c n）ˊ
      例  設有列向量組 a1 ，a2 ，a3 ，它們排成矩陣 A =（a1，a2，a3），如果它們的三個線性組合分別是    a1 + a2 + a3 ，a1 + 2a2 +4a3 ，a1 + 3a2 + 9a 3  ，試寫出新的三向量排成的矩陣B與A的關系。
      分析  關鍵在于反寫形式內積 a1 + a2 + a3 =（a1，a2，a3）（1，1，1）ˊ
                              a1 + 2a2 +4a3 =（a1，a2，a3）（1，2，4）ˊ
                     a1 + 3a2 + 9a3 =（a1，a2，a3）（1，3，9）ˊ
于是，這三個線性組合為列排成的矩陣，等于A乘以  “三個系數列排成的矩陣” 。
      乘法變形4. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×n）（n×1）=（m ×1）
            AB =（a i j）（B的行分塊式）
      乘積AB具行分塊式。且它的各行都是B的行向量的線性組合。

      分塊矩陣乘法形式多樣，內函豐富。每一類形式變換都帶來理論新意。充分體現出《線性代數》的特點，也是重點難點。對學生來說又相當陌生，史無前遇。考研復習《線性代數》的第一任務，就是熟悉矩陣乘法，熟悉分塊矩陣乘法變換的各種形式及其新含義。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-11-20 11:21 編輯 ]

shilep · 發表于 2010-11-20 11:15

打印出來，下午琢磨一遍

戰地黃花 · 發表于 2010-11-21 21:45

12年考先讀書,三月前掃清運算.

a451232101 · 發表于 2010-11-22 19:56

這么好的帖子咋沒人頂~~

斷水云殤 · 發表于 2010-11-22 20:59

頂樓主！打印出來去。

heifei · 發表于 2010-11-22 21:09

極限概念要體驗

[em:42]當年學高數的時候就這樣！

wcjimmy1989 · 發表于 2010-11-23 23:18

留個爪，慢慢看，字數不少啊

戰地黃花 · 發表于 2010-11-28 08:01

知識就是力量

nankaiwuliu · 發表于 2010-11-28 09:10

好東西，要頂！

曼波0小米 · 發表于 2010-11-28 09:23

GOOD DIN

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