考研數學講座（1）考好數學的基點

落清雋 · 發表于 2010-1-24 13:53

原帖由 戰地黃花 于 2010-1-21 22:39 發表
這套帖子為下一年考試的同學而寫。

謝謝一定要頂！

落清雋 · 發表于 2010-1-24 13:59

謝謝！

戰地黃花 · 發表于 2010-1-24 21:00

首先聯想體驗"無限接近"與“近朱者赤，近墨者黑”.

戰地黃花 · 發表于 2010-1-27 23:06

學習線性代數前，你對“根”（“解”）的概念是否有反應？！

戰地黃花 · 發表于 2010-1-27 23:10

新一年，第一步。復習微分學從體驗極限開始。

akynana · 發表于 2010-1-27 23:15

哲學有道經典的考題~聯想到的：
如果運動員邁出一步后，他每走一步都是前一步的二分之一，那么他是不是永遠跑不到終點？

xprvictory · 發表于 2010-1-28 19:15

說的太好了

戰地黃花 · 發表于 2010-1-28 20:29

《線性代數》的“地基”是，行列式基礎知識，向量基礎知識，矩陣基礎知識。全都需要用“集合”語言來描述。
   數學所說的集合，隱含集合中的“元素”有一定的共性特征。 n 維向量集合由全體 n 元有序數組（a1，a2，- - - ，a n）組成；m×n 階矩陣是 mn 個元所排成的矩形陣列。這兩個集合上都定義了“數乘”與“加法”運算。對于 n 階行列式，它也有兩條性質相應于“數乘”與“加法”。
   集合上的運算在觀念上要比四則運算高一個層次。集合上的“運算”本質上是人為規定的特殊運算或特殊對應規律。
      “數乘”與“加法”合稱為線性運算。由于有負數，因而“加法”實際上包含了通常的減法。數學工作者在討論一般集合時，往往都希望能在集合中定義線性運算。
   集合中的若干個元素既作數乘又作加法，稱為這些元素作“線性組合”。
   學到這個地步，要學會體驗數學式的雙重含義。一個線性組合式，它既表示相應的運算過程，又代表整個運算的結果。說“向量的線性組合”，有時就指的是運算結果所得到的向量。還比如：
   有限個無窮小量的線性組合是無窮小量。（“線性組合”表示運算結果）
   有限個連續函數的線性組合連續。    有限個可導函數的線性組合可導。
               - - - - - - - - -          - - - - - - - - -
      （畫外音：不要隨口說啊。無窮大的線性組合不一定是無窮大。“∞－∞”是未定式。）
   如果兩個變量成正比例，我們就說這兩個變量有線性關系。
   在《解析幾何》中，我們研究只有方向與模長的“自由向量”。三維（真實）空間里，兩個向量 α ，β 或者平行，對應分量成比例，α = λβ，即兩個向量有線性關系。或者彼此不平行但必然都平行于同一平面。這時，我們說兩個向量沒有線性關系。同樣地，討論一組兩個或多個n維向量，我們自然要先考慮它們之間是否存在某種線性關系。即
      “是否有一個向量可以表示為組內其它向量的線性組合。”
或       “是否有一個向量可以被組內其它向量線性表示。”
如果是，就稱這組向量線性相關。否則，稱向量組線性無關。
   作為數學定義，數學家們總希望其內含更豐富，不愿意突出某一個向量。于是有：
   若有一組不全為零的數c1，c2，---，c k ，使得 c1a1+ c2a 2+ ---+ c k a k = 0 ，就稱向量組a1，a 2 ，---，a k 線性相關。否則，稱向量組線性無關。
   （潛臺詞：誰的系數不為零，誰就可以被組內其它向量線性表示。）
   這個定義的內含實在是豐富多彩。
   理解（1） 含“零向量”的向量組一定線性相關。——“零向量”的系數取1，其它向量的系數取0 ，就滿足定義。（構造法！）
   理解（2）  “部分相關，全組相關。”。比如組內有兩個向量平行，不仿設a1= ca 2 ，即a1－ ca 2 = 0，其它向量的系數取 0 ，就滿足定義。（構造法！）
   這個結論有個伴生結論：“全組無關，部分無關。”
         理解（3）在一個向量組內，向量之間可能存在很多個線性關系。要判斷其線性相關性，只需要找到一個線性關系。
   理解（4） 系數為零的向量，實際上并沒有參與該線性關系。
   例1    如果向量β可以由向量組 a1，a 2 ，- - -，a k 線性表示，則
         （A）存在一組不全為零的數 c1，c2，- - -，c k，使得 β = c1a1+ c2a 2 + - - - + c k a k
               （B）對β的線性表示式一定不唯一。          （C）向量組 β，a1，a 2 ，- - - ，a k 線性相關。
         （D）組內任意一個向量，一定也可以由β及組內其它向量線性表示。
   分析  已知 β 與向量組 a1，- - - ，a k  間存在線性關系，故（C）對。
   如果 β 是零向量，而 a1，- - -，a k 線性無關，則（A）不成立。
   如果 a1，- - -，a k 線性無關，則對 β 的線性表示唯一。（B）錯。
   誰的系數不為零，誰才可以被β及組內其它向量線性表示。故（D）錯。
   理解（5） 如何用定義來具體描述及證明向量組線性無關呢？
   “不存在一組不全為零的數 c1，c2，- - -，c k，使得 c1a1+ c2a 2+ - - -+ c k a k = 0 ”
   “對任何一組不全為零的數 c1，c2，- - -，c k，總有 c1a1+ c2a 2+ - - -+ c k a k ≠ 0 ”
      這兩種否定性描述都對。但是不好用。我們選擇：
   “設有數組 c1，c2，- - - ，c k，使得 c1a1+ c2a 2+ ---+ c k a k = 0 ，則只有 c1= c2 = - - - = c k = 0，就表明向量組線性無關”
      這樣一來，“證明向量組線性無關”就程序化了。遇上證明線性無關的題，你先寫“設有一組數 - - - ，使得 - - - ，”再具體證明“只有 - - - ”。
   例2 若向量組 α1 ,α2 線性無關，而α1 ,α2 ,β 線性相關，α1 ,α2 ,γ 線性無關，則向量組 α1 ,α2 ,β+γ 線性無關。
   證明  已知 α1 ,α2 ,β 線性相關，即有不全為零的數組使 k1α1 + k 2α2 + k 3β = 0 ，又已知 α1 ,α2 線性無關，必有 k3 ≠ 0，向量 β 可以由 α1 ,α2 線性表示。否則，系數全都為 0 ，矛盾。
   設有數組 c1，c2，c3，使得  c1α1 + c2α2 + c3（β+γ）= 0
      （潛臺詞：要證向量組線性無關，請證明三系數皆為0）
   如果 c3 = 0 ，同理，只有 c1 = c2 = 0 ，結論得證。
   如果 c3 ≠ 0，則向量 β+γ 可以被 α1 ,α2 線性表示。已證明 β 可以由α1 ,α2線性表示，從而 γ 也可以被α1 ,α2線性表示。這與已知矛盾。只有c3 = 0
      例3 已知向量 α1 ≠0 ，向量組 a1，a 2 ，- - - ，a k 中的每一個向量，都不能由排在它前面的那些向量線性表示。試證此向量組線性無關。
   證明設有一組數 c1，c2，- - -，c k，使得 c1a1+ c2a 2+ - - - + c k a k = 0
         如果有某個系數非零，（反證法），我們可以從右向左看。設第一個不為 0 的系數是c r ，則向量 a r 就能由排在它前面的那些向量線性表示。矛盾。只有 c1 = c2 = - - - = c k = 0 ，向量組線性無關。
   有一個重要的定理可以和線性相關的定義放在一起學習。
   定理已知一個n維向量組線性無關，如果在相同的位置給組內每個向量都增加一個分量，則所得的 n + 1 維向量組也線性無關。
   為了好記，我把這個結論稱為“線性無關，延長無關。”比如，三維向量組（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）顯然線性無關。依據本定理，四維向量組（1，0，0，a），（0，1，0，b），（0，0，1，c）一定線性無關。
   在實際工作中，要分析某個目標變量與我們認定的若干個因素變量之間的關系，以便對目標變量實施預測。通常也首先猜想那是一個“多元線性模型”，然后依據歷史記錄的各變量數據，用最小二乘法回歸出各個系數，再用概率方法作顯著性分析。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-1-29 18:57 編輯 ]

戰地黃花 · 發表于 2010-1-30 11:40

小時候，九九表你背了用了多少年？！
初中時，有理數運算算了多少年？！
中學里，代數式運算你又算了多少年？！
學習微積分，你花了多少時間作求導計算？！
求導不熟，處處反應遲緩。

戰地黃花 · 發表于 2010-1-30 18:34

“木桶原理”已經廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對性地采取措施，以求得滿意的結果。實在是一件不容易的事。
   非數學專業的本科學生與數學專業學生的最基本差別，在于概念意識。
   數學科學從最嚴密的定義出發，在準確的概念與嚴密的邏輯基礎上層層疊疊，不斷在深度與廣度上發展。形成一棵參天大樹。
   在《高等數學》中，出發點處就有函數，極限，連續，可導，可微等重要概念。
   在《線性代數》的第一知識板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識板塊中，則是矩陣的特征值與特征向量。
         在《概率統計》中，第一重要的概念是分布函數。不過，《概率》不是第一層次基礎課程。學習《概率》需要學生有較好的《高等數學》基礎。
   非數學專業的本科學生大多沒有概念意識，記不住概念。更不會從概念出發分析解決問題。基礎層次的概念不熟，下一層次就云里霧里了。這是感到數學難學的關鍵。
   大學數學教學目的，通常只是為了滿足相關本科專業的需要。教師們在授課時往往不會太重視，而且也沒時間來進行概念訓練。
   考研數學目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導課上，往往會有學生莫名驚詫，“大一那會兒學的不一樣。”原因就在于學過的概念早忘完了。
   做考研數學復習，首先要在基本概念與基本運算上下足功夫。
   按考試時間與分值來匹配，一個 4 分的選擇題平均只有 5 分鐘時間。而這些選擇題卻分別來自三門數學課程，每個題又至少有兩個概念。你可以由此體驗選拔考試要求你對概念的熟悉程度。
   從牛頓在碩士生二年級的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻浩如煙海，知識千錘百煉。非數學專業的本科生們所接觸的，只是初等微積分的一少部分。方法十分經典，概念非常重要。學生們要做的是接受，理解，記憶，學會簡單推理。當你面對一個題目時，你的自然反應是，“這個題目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪兒做過這道題”，才能算是有點入門了。
   你要考得滿意嗎？基點不在于你看了多少難題，關鍵在于你是否對基本概念與基本運算非常熟悉。
      陽春三月風光好，抓好基礎正當時。

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考研數學講座（1）考好數學的基點

第一步

“根”（“解”）的概念

2011第一步

考研數學講座（38）提升觀念學集合

要動筆啊

考研數學講座（1）考好數學的基點