考研數學講座（1）考好數學的基點

sparkmath · 發表于 2010-2-2 14:50

海涅定理是這個嗎？呵呵

liuyeziyuan141 · 發表于 2010-2-3 04:04

頂下~謝謝LZ~看了你的帖子收獲很多`

戰地黃花 · 發表于 2010-2-3 08:11

獻給2011考研人。

戰地黃花 · 發表于 2010-2-3 08:13

獻給2011考研人.

yuqin119 · 發表于 2010-2-3 15:04

張遠達老師的線性代數很不錯!

yuqin119 · 發表于 2010-2-3 15:12

當然樓主涉及了很多矩陣論的內容呵呵,比考研內容有點超綱，學有余力的同學可以看看的,線性代數的知識聯系性還是很緊密的.矩陣分解更多是在計算機處理矩陣向量運算問題有了實際可操作性，因為不可能行列式方法求解，復雜度太高，階乘級的;高斯消元方法衍生出了LU分解方法.當然所有的理論基礎都來自于基本的線性代數.對于考研來說,我覺得大家一定首要把線性無關,線形有關,線性表出這3個概念搞清楚,這是非常重要的三個概念，對于研究生之后的矩陣數學學習也是非常重要的.

戰地黃花 · 發表于 2010-2-4 08:41

微分學研究函數。函數是描述過程的最簡單的數學模型。
   由六類基本初等函數通過有限次四則運算或有限次復合所生成的，且由一個數學式子所表示的函數，統稱為初等函數。
         大學數學還讓學生學習兩類“分段函數”?；蚴窃诓煌亩x區間內，分別由不同的初等函數來表示的函數；或者是有孤立的特別定義點的函數。
   微分學研究函數的特點，是先做微觀分析。即討論函數的連續性，可導性，可微性。再通過函數的導數來宏觀地研究函數的圖形特征。即單調性，有界性，奇偶性，周期性等。
   1．函數的連續性
   定義 —— 設函數 f(x) 在點 x0 的鄰近有定義。當 x 趨于 x0 時，如果函數有極限.且極限值等于函數值 f (x0)，就稱函數 f 在點 x0 連續。否則，稱函數 f 在點 x0 間斷。x0 是它的間斷點。
   “函數f在點 x0 的鄰近有定義”意味著，如果函數在點 x0 沒有定義，那 x0 只是函數的一個孤立的無定義點。也就是函數的一個天然的間斷點。函數 y = 1/x  在原點就是這樣的。
   “有極限” 意味著存在。在分段函數情形，要立即轉換成“左右極限存在且相等?！?/strong>
         函數在一點連續的定義等式，“左極限 = 右極限 = 中心點函數值”，最多可以得出兩個方程。如果在這里出題：“用連續定義求參數值?！眲t函數可以含一個或兩個參數。
   如果函數在區間上每一點連續，就稱函數在此區間上連續。
   最值定理 —— 在閉區間上連續的函數一定有最大，最小值。
   “有”，意味著至少有兩點，相應的函數值分別為函數值域中的最大，最小數。
   介值定理 —— 如果數 c  能被夾在連續函數的兩個值之間，則 c 一定屬于此函數的值域。
   請體會我的描述方式，這比教科書上寫的更簡明。
   介值定理的一個特殊推論是，連續函數取正取負必取零。從理論上講，求方程 F(x) = 0 的根，可以轉化為討論函數 F 的零點。
   例16 試證明，如果函數f在閉區間上連續，則它的值域也是一個閉區間。
      分析  函數f在閉區間上連續，f必有最大值 M = f（x1），最小值 m =  f（x2），閉區間 [m ，M] 內的任一數 c ，自然就夾在f的兩個最值之間，因而屬于f的值域。即f的值域就是這個閉區間。
   例17   試證明連續函數在相鄰的兩個零點間不變號。
   （潛臺詞：沒有零點的連續函數定號。）
       分析  如果此連續函數在相鄰的兩個零點間變號。則它取正取負必取零。與已知矛盾。
   （潛臺詞：函數究竟恒正還是恒負，選個特殊點算算。）
   例18   函數f在閉區間 [a，b]上連續，其值域恰好也是 [a，b]，試證方程 f (x) = x 在區間 [a，b]上有解。
   分析  作 F = f (x)－x ，它顯然在已知閉區間上連續。且有 F(a)≥0 而 F(b)≤0
如果有一等號成立，則結論得證。否則，用介值定理。
      （潛臺詞：要尋找反號的兩個函數值，當然該先把已知點拿去試試。）
      2．間斷點分類
   連續的對立面是間斷。人們把函數的間斷點分為兩類。
   若函數在某點間斷，但函數在這點的左右極限都存在。就稱此點為第一類間斷點。
   若函數在某點間斷，且至少有一個單側極限不存在，就稱此點為第二類間斷點。
   第一類間斷又分為兩種。左右極限不相等，跳躍間斷；左右極限相等，可去間斷。若考題要求你去掉某個可去間斷點時，你就規定極限值等于此點的函數值，讓其連續。
   對于第二類間斷，我們只學了兩個特例。即
      x = 0 是震蕩因子 y = sin（1/x) 的震蕩間斷點。（畫外音：請聯想“典型不存在（2）”）
      x = 0 是函數 y = exp(1/x)  的無窮間斷點。（畫外音：請聯想“典型不存在（1）”）
   只要函數在 x0 的一個單側為無窮大，x0 就是函數的無窮間斷點。x = x0 是圖形的豎直漸近線。
   考題中經常把問題平移到別的點去討論。
   例 19   確定 y = exp(1/x) arctg（（x+1）/（x－1））的間斷點，并說明其類型。
   分析函數的解析表達式中，分母有零點 0 ，1             （潛臺詞：兩個嫌疑犯啊。）
      在點 0 ，前因子的右極限為正無窮，后因子連續非零，故 0 點是無窮間斷點.
            在點 1 ，前因子連續非零，后因子的左極限是－π/2 ，右極限為π/2，第一類間斷。
      三個特殊的“不存在”記得越熟，計算左右極限就越快。要有一個基本材料庫，典型的知識首先在基本材料范圍內滾瓜爛熟，你就會走得踏實走得遠。
   例20 設函數 f (x) = x∕(a + exp(bx)) 在(－∞, +∞) 內連續，且 x → －∞ 時，極限  lim f (x) = 0 ；則常數a ，b滿足
         （A）a < 0，b < 0  （B）a > 0，b > 0  （C）a≤0，b > 0  （D）a≥0，b < 0
         分析  初等函數的表達式中若有分母，則分母的零點是其天然沒有定義的點，也就是函數的一個天然間斷點。
      已知函數連續，則其分母不能為 0 ，而指數函數 exp(bx) 的值域為 (0,+∞) ，故a ≥ 0
            又，x → －∞ 時，極限  lim f (x) = 0 表明， f (x) 分母是較分子 x 高階的無窮大，即要指數函數 exp(bx) 為無窮大，只有b < 0，應選（D）。
   （畫外音：一個4分題，多少概念與基礎知識綜合！典型的考研題！漂亮的考研題！）
   *例21    已知函數 f (x) 在區間 [a，b]上處處有定義，且單調。若f (x)有間斷點，則只能是第一類間斷點。
   分析（構造法）不仿設 f (x) 在區間 [a，b]上單增，但是有間斷點 x0 ；我們得證明 f 在點 x0 的左右極限都存在。
      已設 f 在區間單增，余下的問題是尋找其上界或下界。事實上有
      x → x0－時，f 單增，顯然 f (b) 是它的一個上界。故左極限存在。
      x → x0+  時，自變量從右向左變化，相應的 f 值單減。顯然 f (a) 是其一個下界。右極限也存在。
      構造法是微積分自己的方法。它的要點是，實實在在地梳理函數的構造及其變化，由此推理獲得所要結果。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-2-11 08:31 編輯 ]

戰地黃花 · 發表于 2010-2-5 08:32

矩陣的“秩”是《線性代數》第一模塊(線性方程組)的核心概念。矩陣“秩”的定義是用行列式來描述的。但是要從理論上深入討論矩陣的“秩”，用向量工具更為方便。所以先要學習向量組的的秩。
      1．向量組的最大無關組與秩
   討論向量組的線性相關性，其應用背景是，“一個齊次線性方程組中，究竟有多少個方程是相互獨立的？”
   因而我們相應最關心的是，“一個向量組中，最多有幾個向量能線性無關，即相互獨立?！?br />       定義如果一個向量組的子組線性無關。且若把組內別的任何一個向量添加進去，得到的新子組都一定線性相關。則稱此線性無關的子組是向量組的一個最大無關組。
   一個向量組可能有好些個最大無關組。但是，最大無關組中含有的向量個數必定相同。（由后述“基本定哩”保證。）稱為向量組的“秩”。
      對向量組而言，最大無關組是個客觀存在。你需要用它的時候，你就把它設出來。
      例7    向量組增加一個（或一些）向量而秩不變，則新增的那個（些）向量可以被原組向量線性表示。
      分析實際上  因為新組包含舊組，且，新組的秩 = 舊組的秩，故舊組的最大無關組也是新組的最大無關組。新增的向量可以被舊組的最大無關組線性表示。
      其它向量都給以零系數加上去，則新增的向量被原組向量線性表示。
      最大無關組的基本作用是，它可以將組內每一個向量唯一地線性表示。* 如果給它一個排立順序，就能使組內的向量與“有序（系）數組”成一一對應，這就自然生成了集合內的“坐標”。
      有趣的是，最大無關組如何唯一地線性表示自身內部的任一向量呢？當然只能是自己的系數取1，其它的系數為0 ；因為它們之間不存在任何線性關系。
   （* 潛臺詞：任何一個最大無關組，作為“坐標基“，它自身的“坐標”總是“單位向量組”
                  （1，0，…… ，0），（0，1，…… ，0），……，（0，0，…… ，1）    ）
      * 例8   向量組的一個子組是其最大無關組的充分必要條件是，組內每一個向量都可以由這個子組唯一地線性表示
      分析  只需證明條件的充分性。
      設向量組內每一個向量都可以由一個子組唯一地線性表示。
      這個子組不可能有零向量。否則，零向量的系數隨意，線性表示式不可能唯一。
      如果這個子組線性相關，則其中至少有一個向量 β 可以被子組內其它向量線性表示。加上 0β 項,，得到 β 被子組全體向量線性表示。
      但是，取 β 的系數為 1，其它向量的系數都為 0，可以得到 β 被子組全體向量線性表示的另一個式子。矛盾。（反證法結合構造法。）
      一個在研考題中最常見卻又最簡單的事實是，如果一個線性相關的向量組共有k個向量，又已知其中的k－1個向量線性無關。則向量組的秩為k－1，該無關組就是它的最大無關組。
   例9    已知向量組 α1 ,α2 , α3 線性相關；向量組 α2 ,α3 , α4 線性無關。試問
   （1）向量  α1 能否由 α2 , α3 線性表示？    （2）向量  α4 能否由 α1 ,α2 , α3 線性表示？
   分析（1）已知向量組 α1 ,α2 , α3  線性相關；向量組 α2 ,α3 , α4 線性無關，所以，α2 ,α3 線性無關，且正好是  α1 ,α2 , α3  的一個最大無關組。α1 可以由 α2 , α3 線性表示。（且唯一地線性表示。）
   （2）如果 α4  能由 α1 ,α2 , α3 線性表示，則由（1）的結論，（潛臺詞：把 α1 的線性表示式代入。）α4 就能由 α2 , α3 線性表示，這和已知 α2 ,α3 , α4  線性無關矛盾。

      2．向量基本定理
   定理   如果甲向量組的每一個向量都可以被乙向量組線性表示，則
                        甲向量組的秩 R（甲）≤ 乙向量組的秩 R（乙）
      教材內一般都不會證明這個定理。
      顯然，如果甲向量組的每一個向量可以由乙向量組線性表示，而甲組向量個數＞乙組向量個數，則甲向量組必定線性相關。
      實際上，唯一的信息鏈是：    秩R（甲）≤ 秩 R（乙）≤ 乙組向量個數＜甲組向量個數
      n+1 個 n 維向量必定線性相關，是因為它們可以由前述單位向量組線性表示。
      如果兩個向量組能相互線性表示。則它們的秩相等。稱為等價向量組。顯然，向量集合的最大無關組是兩兩等價的。
      例10 如果把兩個向量組合并為一個組，則“合并組”的秩不超過各組秩的和。
      分析   兩個向量組各取一個最大無關組，合并到一起，為了說話方便，稱為“小合并組”。顯然，“合并組” 每一個向量都可以被“小合并組”線性表示。但是兩個線性無關組合并后不一定能全組線性無關。故
               “合并組”的秩 ≤“小合并組” 的秩 ≤ 原兩個向量組秩的和
      問題本身都不算難。難就難在描述向量的語言。
      考研數學卷常常會有題目：“已知兩個含參數的向量組等價，試確定參數值?！蹦蔷颓笙蛄拷M的秩，利用秩相等來判斷或建立方程。
      如果是“試討論參數為何值時，兩個向量組等價或不等價。”難度就高了很多。因為秩相等的兩個向量組不一定等價。我們也難以按定義判定等價性。這時候，題上所給的向量組可能都是三個三維向量的組。如果線性無關，則三維空間的兩個最大無關組等價。

   * 3．向量空間
      有的《線性代數》教材上寫了一章“線性空間”。非數學專業的學生很難適應那樣的理論抽象及其討論方式。我們不仿將討論范圍限定在n維向量內，就可以簡明地說：
   “如果一個 n 維向量集合對于線性運算是封閉的。即集合中任意有限個向量的線性組合仍然是集合中的向量，就稱這個集合為向量空間。
      如果一個n維向量集合的秩為 k ，又成功向量空間，就稱其為 k 維向量空間?！?br />             全體 n 維向量組成的集合叫 n 維向量空間。
      三維空間中，“平行于某一已知平面的全體向量組成的集合”顯然也是一個向量空間。是三維向量空間的一個二維子空間。
      n 個未知量 m 個方程的齊次線性方程組如果有一個非零的解向量 β ，則對任意實數 c ，向量 cβ 也是該方程組的解向量。進一步還可以驗證，齊次線性方程組的任意有限個解向量的線性組合也是該方程組的解向量。
   （畫外音：是不是解向量，代入齊次線性方程組去驗算一下嘛。）
      這就是說，齊次線性方程組如果有一個非零的解向量，它就有無窮多個解向量。一個齊次線性方程組的全體解向量是 n 維向量空間的子集合，但它對于線性運算也是封閉的。因而也可以獲得“向量空間”的稱號。叫齊次線性方程組的解空間。
         不要害怕，知道向量集合滿足一個運算性質，就給它一個特殊稱呼。如此而已！

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-2-5 10:36 編輯 ]

戰地黃花 · 發表于 2010-2-5 08:36

要想判斷準而快，熟記“三個不存在”。

戰地黃花 · 發表于 2010-2-5 08:38

陽春三月風光好，抓好基礎正當時。

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