考研數學講座（1）考好數學的基點

戰地黃花 · 發表于 2010-1-31 11:37

定義，是數學的基本游戲規則。所有的定義條件都是充分必要條件。
   即便有了定義，為了方便起見，數學工作者們通常會不遺余力地去尋覓既與定義等價，又更好運用的描述方式。討論極限的存在性，就有如下三個常用的等價條件。
      1． 海涅定理
         觀察 x 趨于 x0 的過程時，我們并不追溯 x 從哪里出發；也沒有考慮它究竟以怎樣的方式無限靠近 x.0 ；我們總是向未來，看發展。因而最直觀的等價條件就是海涅定理：
   定理（1） 極限存在的充分必要條件是，無論x以何種方式趨于x0 ，相應的函數值總有相同的極限A存在。
   這個定理條件的“充分性”沒有實用價值。事實上我們不可能窮盡 x 逼近 x0 的所有方式。很多教科書都沒有點出這一定理，只是把它的“必要性”獨立成為極限的一條重要性質。即唯一性定理：
      “如果函數（在某一過程中）有極限存在，則極限唯一。”
         唯一性定理的基本應用之一，是證明某個極限不存在。
   2．用左右極限來描述的等價條件
   用 ε–δ 語言可以證得一個最好用也最常用的等價條件：
   定理（2） 極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。
   這是在三類考研試題中出現概率都為1的考點。考研數學年年考連續定義，導數定義。本質上就是考查極限存在性。這是因為
   函數在一點連續，等價于函數在此點左連續，右連續。
   函數在一點可導，等價于函數在此點的左、右導數存在且相等。
   由于初等函數有較好的分析性質。考題往往會落實到分段函數的定義分界點或特殊定義點上。考生一定要對分段函數敏感，一定要學會在特殊點的兩側分別考察函數的左右極限。
   （3）突出極限值的等價條件
   考數學一，二的考生，還要知道另一個等價條件：
   定理（3）  函數 f（x）在某一過程中有極限 A 存在的充分必要條件是，f（x）－A  為無窮小。
      從“距離”的角度來理解，在某一過程中函數 f（x）與數 A 無限接近，自然等價于
：       函數值 f（x）與數 A的距離 ∣f（x）－A∣ 無限接近于 0
         如果記  α = f（x）－A，在定理條件下得到一個很有用的描述形式轉換：
                              f（x）= A + α（無窮小）

   考研題目經常以下面三個特殊的“不存在”為素材。“存在”與否全面看。有利于我們理解前述等價條件。          我用 exp（）表示以 e 為底數的指數函數，（）內填指數。
   例1   x 趨于 0 時，函數 exp（1/x）不存在極限。
   分析  在原點 x = 0 的左側，x 恒負，在原點右側，x 恒正。所以
   x 從左側趨于 0 時，指數 1/x 始終是負數，故左極限  f（0－0）= 0 ，
   x 從右側趨于 0 時，函數趨向 +∞ ，由定理（2），函數不存在極限。也不能說，x 趨于0時，exp（1/x）是無窮大。
   但是，在這種情形下，函數圖形在點 x = 0 有豎直漸近線 x = 0
         例2   x 趨于 0 時，“震蕩因子”sin（1/x）不存在極限。俗稱震蕩不存在。
   分析用海涅定理證明其等價問題，“x 趨于+∞ 時，sinx 不存在極限。”
      分別取 x = nπ 及 x = 2nπ 兩個數列，n 趨于+∞ 時，它們都趨于+∞，相應的兩列正弦函數值卻分別有極限0與1，不滿足唯一性定理（定理（1））。故 sinx 不存在極限。（構造法！）
     例3 x 趨于 ∞ 時，函數 y = arctgx 不存在極限。
       分析把 ∞ 視為一個虛擬點，用定理（2）。由三角函數知識得，
      x 趨于 +∞ 時，函數極限為π/2 ，x 趨于－∞ 時，函數極限為  －π/2 ，
      故，函數 y = arctgx 不存在極限。
      請注意，證明過程表明，函數 y = arctgx  的圖形有兩條水平漸近線。即
                     －∞方向有水平漸近線  y = －π/2 ； +∞方向則有  有 y  = π/2
      例4    當x → 1時，函數 f (x) = (exp (1/(x－1)) )( x平方－1)∕(x－1) 的極限
               （A）等于2 （B）等于0 （C）為 ∞ （D）不存在但不為 ∞
      b]分析考查 x → 1 時函數的極限，通常認為 x 不取1 ；而 x≠1 時，可以約去分母（x－1)，讓函數的表達式化為       f (x) = (x+1)exp (1/(x－1))
         左極限  f（1－0）= 0 ，x 從右側趨于 1 時，函數趨向 +∞ ，       （選（D））
      （畫外音：多爽啊。這不過是“典型不存在1”的平移。）
         例5 f（x）=（2 + exp（1/x））∕（1+ exp（4/x））+  sinx ∕∣x∣ ,  求x趨于0時函數的極限。
      分析  絕對值函數 y = | x | 是典型的分段函數。x = 0 是其定義分界點。一看就知道必須分左右計算。如果很熟悉“典型不存在1”，這個5分題用6分鐘足夠了。實際上
            x → 0- 時， lim  f（x）=（2+0）/（1+ 0）－1 = 1
            x → 0+ 時， exp（1/x）→ +∞ ，前項的分子分母同除以 exp（4/x）再取極限
                                 lim  f（x）=（0+0）/（0+1）+1 = 1
         由定理（2）得  x → 0 時， lim  f（x）= 1
      例6 曲線  y = exp(1/x平方) arctg（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））的漸近線共有
                  （A）1條．（B）2條。（C）3條。（D）4條。             選（B）
         分析  先觀察 x 趨于 ∞ 時函數的狀態，考查曲線有無水平漸近線；再注意函數結構中，各個因式的分母共有三個零點。即 0，1 和－2 ；對于每個零點 x0，直線 x = x0 都可能是曲線的豎直漸近線，要逐個取極限來判斷。實際上有
         x →∞ 時， lim y = π/4 ，  曲線有水平漸近線 y =π/4
其中，x →∞ 時， lim exp(1/x平方) = 1 ； im（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））= 1 （分子分母同除以“x平方”）
      考查 “嫌疑點” 1和－2時，注意運用“典型不存在3”，
         f（1－0）= －eπ/2  ； f（1+0）= eπ/2 ， x = 1不是曲線的豎直漸近線。
      類似可以算得  x = －2不是曲線的豎直漸近線。
         x → 0 時，前因式趨向 +∞；后因式有極限 arctg（－1/2），x = 0 是曲線的豎直漸近線。
         啊，要想判斷準而快，熟記“三個不存在”。看了上面幾例，你有體會嗎？

         *還有兩個判斷極限存在性的定理（兩個充分條件）：
         定理（4）夾逼定理 —— 若在點 x0 鄰近（或 | x |充分大時）恒有g (x)≤f (x)≤h (x)，且x →x 0  ( 或x →∞) 時    lim g (x) = lim h (x) = A 則必有    lim f (x) = A
         定理（5） 單調有界的序列有極限。（或單增有上界有極限，或單減有下界有極限。）
         加上講座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。共計六個，可以說是微分學第一組基本定理。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-2-2 19:18 編輯 ]

戰地黃花 · 發表于 2010-1-31 13:26

你有體驗的意識嗎。體驗的背景是ε–δ語言。

GoogleFans · 發表于 2010-1-31 21:46

非常的好，強烈建議樓主將講座整理在一起

穆霜飛鴻 · 發表于 2010-1-31 22:58

有理……我也不是題海戰術的類型滴……

ly880625 · 發表于 2010-2-1 10:14

非常同意lz觀點，數學首先得把最基本的抓牢

foryouj · 發表于 2010-2-1 16:51

學習了。有意思

戰地黃花 · 發表于 2010-2-1 18:16

在愛搞運動的那些年代里，數學工作者們經常受到這樣的指責，“一支筆，一張紙，一杯茶，鬼畫桃符，脫離實際。”發難者不懂基礎研究的特點，不懂得考慮數學問題時“寫”與“思”同步的重要性。
   也許是計算機廣泛應用的影響，今天的學生們學習數學時，也不太懂得“寫”的重要性。考研的學生們，往往拿著一本厚厚的考研數學指導資料，看題看解看答案或看題想解翻答案。動筆的時間很少。
   數學書不比小說。看數學書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。
          科學的思維是分層次的思維。求解一個數學問題時，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實實地考慮如何邁出第一步。
   或“依據已知條件，我首先能得到什么？”（分析法）；
   或 “要證明這個結論，就是要證明什么？”（綜合法）。
   在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是一個簡單的例。
   “連續函數與不連續函數的和會怎樣？” 寫成 “ 連續 A + 不連續 B = ？”后就可能想到，只有兩個答案，分別填出來再說。（窮盡法）。
   如果，“ 連續 A + 不連續 B = 連續 C ”  移項，則 “ 連續 C －連續 A = 不連續 B ”
這與定理矛盾。所以有結論： 連續函數與不連續函數的和一定不連續。
         有相當一些數學定義，比如“函數在一點可導”，其中包含有計算式。能否掌握并運用這些定義，關鍵就在于是否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，
   題面上有已知條件 f ′(1)＞0 ，概念深，寫得熟的人立刻就會先寫出
            h 趨于 0 時， lim ( f(1+h)－f(1）) / h ＞ 0
然后由此自然會聯想到，下一步該運用極限的性質來推理。而寫不出的人就抓瞎了。
   又比如《線性代數》中特征值與特征向量有定義式 Aα = λα，α≠ 0 ，要是移項寫成
                        （A－λE）α = 0，α ≠ 0
這就表示 α 是齊次線性方程組（A－λE）X = 0 的非零解，進而由理論得到算法。
   數學思維的特點之一是“發散性”。一個數學表達式可能有幾個轉換方式，也許從其中一個方式會得到一個新的解釋，這個解釋將導引我們邁出下一步。
         車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫一步，觀測分析邁下步。路只能一步步走。陳景潤那篇名揚世界的“1+2”論文中有28個“引理”，那就是他艱難地走向輝煌的28步。
   對于很多考生來說，不熟悉基本計算是他們思考問題的又一大障礙。
   《高等數學》感覺不好的考生，第一原因多半是不會或不熟悉求導運算。求導運算差，討論函數的圖形特征，積分，解微分方程等，反應必然都慢。
   《線性代數》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達形式，那是學好線性代數的訣竅。好些看似很難的問題，選擇一個分塊變形就明白了。
   《概率統計》中，要熟練地運用二重積分來計算二維連續型隨機變量的各類問題。對于考數學三的同學來說，二重積分又是《高等數學》部分年年必考的內容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。
   要考研嗎，要去聽指導課嗎，一定要自己先動筆，盡可能地把基本計算練一練。
   我一直向考生建議，臨近考試的一段時間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時間內作某年研考的全巻。中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底。看看成績多少。不要以為你已經看過這些試卷了。就算你知道題該怎么做，你一寫出來也可能會面目全非。
         多動筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-2-1 18:21 編輯 ]

戰地黃花 · 發表于 2010-2-1 18:30

教材上的很多定理，前題都是某個極限存在！

戰地黃花 · 發表于 2010-2-2 11:12

微積分還有一個名稱，叫“無窮小分析”。
   1. 概念
         在某一過程中，函數 f（x）的極限為 0 ，就稱 f（x）（這一過程中）為無窮小。
   為了回避 ε–δ 語言，一般都粗糙地說，無窮小的倒數為無窮大。
   無窮小是個變量，不是 0 ； y = 0 視為“常函數”，在任何一個過程中都是無窮小。不過這沒啥意義  。
   依據極限定義，無窮大不存在極限。但是在變化過程中變量有絕對值無限增大的趨勢。為了記述這個特點，歷史上約定，“非法地”使用等號來表示無窮大。（潛臺詞：并不表示極限存在。）比如
   x 從右側趨于 0 時，lim lnx = －∞ ；x 從左側趨于 π/2 時，lim tgx = +∞
         無窮大與無界變量是兩個概念。無窮大的觀察背景是過程，無界變量的判斷前提是區間。無窮小和無窮大量的名稱中隱含著它們（在特定過程中）的發展趨勢。在適當選定的區間內，無窮大量的絕對值沒有上界。
   y = tgx（在 x →π/2 左側時）是無窮大。在（0，π/2）內 y = tgx 是無界變量
   x 趨于 0 時，函數 y =（1/x）sin（1/x）不是無窮大，但它在區間（0，1）內無界。
   不仿用高級語言來作個對比。任意給定一個正數E，不管它有多大，當過程發展到一定階段以后，無窮大量的絕對值能全都大于E ；而無界變量只能保證在相應的區間內至少能找到一點，此點處的函數絕對值大于E 。
   2. 運算與比較
         有限個無窮小量的線性組合是無窮小；“∞－∞”則結果不確定。
   乘積的極限有三類可以確定：
   有界變量?無窮小 = 無窮小    無窮小?無窮小 = （高階）無窮小無窮大?無窮大 = （高階）無窮大
其它情形都沒有必然的結果，通通稱為“未定式”。
   例10 作數列  x = 1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
                                          y =  0，1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
兩個數列顯然都無界，但乘積 xy 是零數列。這表示可能會有  無界?無界 = 有界

   兩個無窮小的商求極限，既是典型的未定式計算，又有深刻的理論意義。即“無窮小的比較”。如果極限為1，分子分母為等價無窮小；極限為0 ，分子是較分母高階的無窮小；極限為其它實數，分子分母為同階無窮小。
   無窮大有類似的比較。
   無窮小（無窮大）的比較是每年必考的點。
   x 趨于 0 時，α = xsin（1/x）和 β = x 都是無窮小，且顯然有∣α∣≤∣β∣；但它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒有極限。兩個無窮小不能比較。這既說明了存在性的重要，又顯示了震蕩因子sin（1/x）的用途。能夠翻閱《分析中的反例》的同學可以在其目錄頁中看到，很多反例都用到了震蕩因子。
   回到基本初等函數，我們看到
   x  趨于 +∞ 時，y = x 的 μ 次方，指數 μ＞0 的冪函數都是無窮大。且習慣地稱為 μ 階無窮大。
   （潛臺詞：這多象汽車的1檔，2檔，- - - ，啊。）
   x  趨于 +∞ 時，底數大于 1 的指數函數都是無窮大；底數小于 1 的都是無窮小。
   x  趨于 +∞  或 x  趨于0+ 時，對數函數是無窮大。
   x  趨于  ∞  時，sinx 及 cosx 都沒有極限。正弦，余弦，反三角函數（在任何區間上）都是有界變量。

   請體驗一個很重要也很有趣的事實。
   （1） x → +∞ 時，  lim （x的n次方）∕exp（x）= 0 ，這表明：
   “ x 趨于 +∞ 時，指數函數 exp（x）是比任意高次方的冪函數都還要高階的無窮大。”
或者說，“ x 趨于 +∞ 時，函數 exp（－x）是任意高階的無窮小。”
      （2） x → +∞ 時，  lim ln x∕（x的δ次方）= 0； δ 是任意取定的一個很小的正數。這表明：
      “ x 趨于 +∞ 時，對數函數 l nx 是比 x 的 δ 次方都還要低階的無窮大。”
      在數學專業方向，通常稱冪函數（x的n次方）為“緩增函數”； 稱exp（－x）為“速降函數”。
         只需簡單地連續使用洛必達法則就能求出上述兩個極限。它讓我們更深刻地理解了基本初等函數。如果只知道極限值而不去體驗，那收獲真是很小很小。

   例11 函數 f (x) = xsinx （A）當x →∞ 時為無窮大。（B）在（－∞，+∞）內有界。
                              （C）在（－∞，+∞）內無界。（D）在時有有限極限。
   分析這和 y =（1/x）sin（1/x）在x趨于0時的狀態一樣。    （選（C））

   例12    設有數列 Xn，具體取值為
                     若n為奇數，Xn =（n平方 + √n ）∕n ；若n為偶數，Xn = 1∕n
則當n → ∞ 時，Xn  是（A）無窮大量  （B）無窮小量  （C）有界變量  （D）無界變量
      分析一個子列（奇下標）為無窮大，一個子列是無窮小。用唯一性定理。選（D））
      請與“典型不存在1”對比。本質相同。
       例13    已知數列 Xn 和 Yn 滿足 n → ∞ 時，lim Xn Yn = 0 ，則
   （A）若數列 Xn 發散，數列 Yn 必定也發散。（B）若數列 Xn 無界，數列 Yn 必定也無界。
   （C）若數列 Xn有界，數列 Yn必定也有界。  （D）若變量 1∕Xn 為無窮小量，則變量Yn必定也是無窮小量。
      分析   盡管兩個變量的積為無窮小，我們卻無法得到其中任何一個變量的信息。例10給了我們一個很好的反例。對本題的（A）（B）（C）來說，只要 Yn 是適當高階的無窮小，就可以保證  lim Xn Yn = 0
         無窮小的倒數為無窮大。故（D）中條件表明 Xn 為無窮大。要保證 lim Xn Yn = 0，Yn  必須為無窮小量。應選答案（D）。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-2-3 07:56 編輯 ]

can_on · 發表于 2010-2-2 11:19

在無窮大和無窮小的研究中，0是一個至關重要而且極其特別的數字

它是唯一可以表示無窮小的數字，而且它的倒數不為無窮大

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考研數學講座（1）考好數學的基點

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考研數學講座（5）無窮小與無窮大

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