考研數學講座（1）考好數學的基點

戰地黃花

“木桶原理”已經廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對性地采取措施，以求得滿意的結果。實在是一件不容易的事。
    非數學專業的本科學生與數學專業的學生的最基本差別，在于概念意識。    數學科學從最嚴密的定義出發，在準確的概念與嚴密的邏輯基礎上層層疊疊，不斷在深度與廣度上發展。形成一棵參天大樹。
    在《高等數學》中，出發點處就有函數，極限，連續，可導，可微等重要概念。
    在《線性代數》的第一知識板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識板塊中，則是矩陣的特征值與特征向量。
    在《概率統計》中，第一重要的概念是分布函數。不過，《概率》不是第一層次基礎課程。學習《概率》需要學生有較好的《高等數學》基礎。
    非數學專業的本科學生大多沒有概念意識，記不住概念。更不會從概念出發分析解決問題。基礎層次的概念不熟，下一層次就云里霧里了。這是感到數學難學的關鍵。
    大學數學教學目的，通常只是為了滿足相關本科專業的需要。教師們在授課時往往不會太重視，而且也沒時間來進行概念訓練。
    考研數學目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導課上，往往會有學生莫名驚詫，“大一那會兒學的不一樣。”原因就在于學過的概念早忘完了。
    做考研數學復習，首先要在基本概念與基本運算上下足功夫。
    按考試時間與分值來匹配，一個4分的選擇題平均只有5分鐘時間。而這些選擇題卻分別來自三門數學課程，每個題又至少有兩個概念。你可以由此體驗選拔考試要求你對概念的熟悉程度。
    從牛頓在碩士生二年級的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻浩如煙海，知識千錘百煉。非數學專業的本科生們所接觸的，只是初等微積分的一少部分。方法十分經典，概念非常重要。學生們要做的是接受，理解，記憶，學會簡單推理。當你面對一個題目時，你的自然反應是，“這個題目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪兒做過這道題”，才能算是有點入門了。
    你要考得滿意嗎？基點不在于你看了多少難題，關鍵在于你是否對基本概念與基本運算非常熟悉。
    陽春三月風光好，抓好基礎正當時。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-1-19 21:07 編輯 ]

戰地黃花

這套帖子為下一年考試的同學而寫。

戰地黃花

在愛搞運動的那些年代里，數學工作者們經常受到這樣的指責，“一支筆，一張紙，一杯茶，鬼畫桃符，脫離實際。”發難者不懂基礎研究的特點，不懂得考慮數學問題時“寫”與“思”同步的重要性。
      也許是計算機廣泛應用的影響，今天的學生們學習數學時，也不太懂得“寫”的重要性。考研的學生們，往往拿著一本厚厚的考研數學指導資料，看題看解看答案或看題想解翻答案。動筆的時間很少。
      數學書不比小說。看數學書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。
       科學的思維是分層次的思維。求解一個數學問題時，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實實地考慮如何邁出第一步。
      或“依據已知條件，我首先能得到什么？”（分析法）；
      或 “要證明這個結論，就是要證明什么？”（綜合法）。
      在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是一個簡單的例。
       “連續函數與不連續函數的和會怎樣？”
          寫成 “連續A + 不連續B = ？”后就可能想到，只有兩個答案，分別填出來再說。（窮盡法）。
      如果，“連續A + 不連續B = 連續C”  移項，則 “ 連續C －連續A = 不連續B”
這與定理矛盾。所以有結論： 連續函數與不連續函數的和一定不連續。
      有相當一些數學定義，比如“函數在一點可導”，其中包含有計算式。能否掌握并運用這些定義，關鍵就在于是否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，
        題面上有已知條件 f ′(1)＞0，概念深，寫得熟的人立刻就會先寫出
                       h趨于0時， lim( f(1+h)－f(1）)/h＞0
然后由此自然會聯想到，下一步該運用極限的性質來推理。而寫不出的人就抓瞎了。
        又比如《線性代數》中特征值與特征向量有定義式 Aα=λα，α≠ 0 ，要是移項寫成
                （A－λE）α= 0，α≠ 0，
這就表示α是齊次線性方程組（A－λE）X = 0 的非零解，進而由理論得到算法。
        數學思維的特點之一是“發散性”。一個數學表達式可能有幾個轉換方式，也許從其中一個方式會得到一個新的解釋，這個解釋將導引我們邁出下一步。
             車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫一步，觀測分析邁下步。路只能一步步走。陳景潤那篇名揚世界的“1+2”論文中有28個“引理”，那就是他艱難地走向輝煌的28步。
        對于很多考生來說，不熟悉基本計算是他們思考問題的又一大障礙。
       《高等數學》感覺不好的考生，第一原因多半是不會或不熟悉求導運算。求導運算差，討論函數的圖形特征，積分，解微分方程等，反應必然都慢。
       《線性代數》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達形式，那是學好線性代數的訣竅。好些看似很難的問題，選擇一個分塊變形就明白了。
       《概率統計》中，要熟練地運用二重積分來計算二維連續型隨機變量的各類問題。對于考數學三的同學來說，二重積分又是《高等數學》部分年年必考的內容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。
        要考研嗎，要去聽指導課嗎，一定要自己先動筆，盡可能地把基本計算練一練。
        我一直向考生建議，臨近考試的一段時間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時間內作某年研考的全巻。中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底。看看成績多少。不要以為你已經看過這些試卷了。就算你知道題該怎么做，你一寫出來也可能會面目全非。
        多動筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-1-24 08:01 編輯 ]

herbert_seed

講的很有道理！！

戰地黃花

極限概念是微積分的起點。說起極限概念的歷史，學數學的都多少頗為傷感。
     很久很久以前，西出陽關無蹤影的老子就體驗到，“一尺之竿，日取其半，萬世不竭。”
     近兩千年前，祖氏父子分別用園的內接 正6n邊形周長 替帶園周長以計算園周率；用分割曲邊梯形為 n 個窄曲邊梯形，進而把窄曲邊梯形看成矩形來計算其面積。他們都體驗到，“割而又割，即將 n 取得越來越大，就能得到越來越精確的園周率值或面積。”
         國人樸實的體驗延續了一千多年，最終沒有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這一點上率先突破。
      極限概念起自于對“過程”的觀察。極限概念顯示著過程中兩個變量發展趨勢的關聯。     
      自變量的變化趨勢分為兩類，一類是 x →x0  ；一類是 x →∞ ，
       “當自變量有一個特定的發展趨勢時，相應的函數值是否無限接近于一個確定的數a ？”
如果是，則稱數a為函數的極限。
     “無限接近”還不是嚴密的數學語言。但這是理解極限定義的第一步，最直觀的一步。
      學習極限概念，首先要學會觀察，了解過程中的變量有無一定的發展趨勢。學習體驗相應的發展趨勢。其次才是計算或討論極限值。
      自然數列有無限增大的變化趨勢。按照游戲規則，我們還是說自然數列沒有極限。
      自然數 n 趨于無窮時，數列 1/n 的極限是0 ；x 趨于無窮時，函數 1/x 的極限是 0 ；
      回顧我們最熟悉的基本初等函數，最直觀的體驗判斷是，
      x 趨于正無窮時，正指數的冪函數都與自然數列一樣，無限增大，沒有極限。
      x 趨于正無窮時，底數大于1的指數函數都無限增大，沒有極限。
      x →0+ 時，對數函數 lnx  趨于 －∞ ；x 趨于正無窮時，lnx 無限增大，沒有極限。
      x →∞ 時，正弦sinx 與 余弦conx 都周而復始，沒有極限。在物理學中，正弦 y = sinx 的圖形是典型的波動。
      我國《高等數學》教科書上普遍都選用了“震蕩因子”sin（1/x）。當 x 趨于0 時它沒有極限的原因是震蕩。具體想來，當 x 由0.01變為0.001時，只向中心點 x = 0 靠近了一點點，而 正弦sinu 卻完成了140多個周期。函數的圖形在 +1與－1之間上下波動140多次。在 x = 0 的鄰近，函數各周期的圖形緊緊地“擠”在一起，就好象是 “電子云”。
      當年我研究美國各大學的《高等數學》教材時，曾看到有的教材竟然把函數 y = sin（1/x）的值整整印了一大頁，他們就是要讓學生更具體地體驗它的數值變化。
      x 趨于0 時（1/x）sin（1/x）不是無窮大，直觀地說就是函數值震蕩而沒有確定的發展趨勢。1/x 為虎作倀，讓震蕩要多瘋狂有多瘋狂。      
          更深入一步，你就得體驗，在同一個過程中，如果有多個變量趨于0，（或無限增大。）就可能有的函數趨于0 時（或無限增大時）“跑得更快”。這就是高階，低階概念。
      考研數學還要要求學生對極限有更深刻的體驗。
      多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語言，（即ε–δ語言）。沒有這套語言，我們沒有辦法給出極限定義，也無法嚴密證明任何一個極限問題。但是，這套語言是高等微積分的內容，非數學專業的本科學生很難搞懂。數十年來，考研試卷上都沒有出現過要運用 ε–δ 語言 的題目。 研究生入學考題中，考試中心往往用更深刻的體驗來考查極限概念。這就是
      “若 x 趨于 ∞ 時，相應函數值 f（x）有正的極限 ，則當∣x∣充分大時，(你不仿設定一點x0，當∣x∣＞x0時，)  總有 f（x）＞0 ”
         *“若 x 趨于 x0 時，相應函數值 f（x）有正的極限 ，則在 x0 的一個適當小的去心鄰域內，f（x）恒正”
       這是已知函數的極限而回頭觀察。逆向思維總是更加困難。不過，這不正和“近朱者赤，近墨者黑”一個道理嗎。
       除了上述苻號體驗外，能掌握下邊簡單的數值體驗則更好。
       若 x 趨于無窮時，函數的極限為 0 ，則 x 的絕對值充分大時，( 你不仿設定一點 x0 ，當∣x∣＞x0 時，)  函數的絕對值恒小于1
            若 x 趨于無窮時，函數為無窮大，則 x 的絕對值充分大時，(  你不仿設定一點 x0 ，  當∣x∣＞x0時，) 函數的絕對值全大于1
          *若 x 趨于 0 時，函數的極限為 0 ，則在 0 點 的某個適當小的去心鄰域內，或 x 的絕對值充分小時，函數的絕對值全小于1
        （你不仿設定有充分小的數 δ＞0，當 0＜∣x∣＜δ 時，函數的絕對值全小于1 ）
      沒有什么好解釋的了，你得反復領會極限概念中“無限接近”的意義。你可以試著理解那些客觀存在，可以自由設定的點 x0 ，或充分小的數 δ＞0 ，并利用它們。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-1-22 18:58 編輯 ]

alainesun

很好 啊

菜園小生

好貼！！~

戰地黃花

你是看題看解看答案，還是看題想解翻答案，還是擺開本子邊看邊寫邊想。

ilovetina

寫得很好 學數學確實要親自做題和思考，不能總是做不出來就看答案。lz是數學專業的嗎？

雷西兒

原帖由 戰地黃花 于 2010-1-19 21:05 發表
“木桶原理”已經廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對性地采取措施，以求得滿意的結果。實在是一件不容易的事。
    非數學專業的本科學生與數學專業的學生的最基本差別，在于概念意識。    數 ...

寫得非常好
很多觀點和我一直以來給學生強調的不謀而合
要想真正把數學學好 必須經歷強調嚴格的思維訓練
而思維訓練的核心又在于概念

是樓主自己原創的嗎 是的話有空多交流

[ 本帖最后由 雷西兒 于 2010-1-24 12:40 編輯 ]